方案选择母题：一次函数与分段计费的决策
比较两个计费方案就是比较两个一次函数：找交点、分段讨论。出租车与阶梯水价再演示「先定段、再代入」的分段求值方法。
答案：，；月用量 GB 时费用相同（均 元）；用 GB 选 A 方案，省 元。
前置知识
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必备前置 学本页前须先掌握
适用前提与边界条件
- 会写一次函数关系式并画图象
- 理解分段计费「每一段用每一段的单价」的规则
知识地图
一道题，3 条路。小学到初中的工具轮番上场，每一步都只是旧知识的新组合。
解法① 列表枚举归纳 小学
核心工具：列表比较、归纳
逐个用量算两方案费用：
- 6 GB：A ，B ，B 省 2 元 - 8 GB：A ，B ，持平 - 10 GB：A ，B ，A 省 2 元 - 12 GB：A ，B ，A 省 4 元
分界在 8 GB：以内 B 便宜，超过后 A 便宜且差距扩大。小明用 12 GB，选 A 省 4 元。
点睛：不做代数也能「算」出分界点——列表是好习惯，代数式 正是表里那一列差值。
体现思想：归纳思想
解法② 一元一次方程找分界 初中
核心工具：一次函数、一元一次方程
(1) （），（）。
(2) 令两方案费用相等：，解得 ，此时 元。
(3) 用量超过 8 GB 时比较差值：，当 时差为 ，即 B 比 A 贵 4 元，选 A。
点睛：令两式相等找分界点，再用差值判断方向——代数比较一步到位。
体现思想：方程思想、不等式思想
解法③ 图象法 初中
核心工具：一次函数的图象、两条直线的交点
是过 、斜率 5 的上升直线； 是过原点、斜率 6 的直线。B 起点低但更陡。
两直线交于 ：
- 时 B 的图象在下，B 便宜； - 时 A 的图象在下，A 便宜。
小明用 12 GB 落在交点右侧，选 A，省 元。
点睛：「谁便宜」就是「谁的图象在下」——交点把分段讨论变成一眼可见的位置关系。
体现思想：数形结合、函数思想
思想方法总结
七种解法看似不同，背后是同一套思想在反复起作用：
| 思想 | 出现在哪些解法 | 起什么作用 |
|---|---|---|
| 方程思想 | 一元一次方程找分界 | — |
| 不等式思想 | 一元一次方程找分界 | — |
| 数形结合 | 图象法 | — |
| 函数思想 | 图象法 | — |
| 归纳思想 | 列表枚举归纳 | — |
生活应用
这类「条件最值」不是考试专属，生活中到处可见：
- fen-duan-ji-fei
- shou-ji-tao-can
- fang-an-xuan-ze
变式训练
- 某市出租车 3 km 内收 10 元，超过 3 km 后每 km 加收 2.4 元。行驶 8 km 应付车费多少元？ （提示： 元。）
- 阶梯水价：每月 15 吨以内 2.5 元/吨，超出部分 3.8 元/吨。某月用水 20 吨，水费多少元？ （提示： 元。）
为什么值得学三种解法
方案选择是「用数学替人做决定」的入门题：费用是用量的一次函数，两个函数的交点就是方案的分水岭。方程版给出精确分界，图象版让「谁便宜」变成看得见的位置关系，列表版则不需要任何代数也能归纳出同样的结论。中考的三问式（写函数—找分界—给建议）就是把这三种思路各考一步；而分段计费变式提醒你：现实中的价格常是折线，先定段，再代入。
正例与反例
✅ 正例
- 用量 8 GB 时两方案都是 48 元；用量 10 GB 时 A 方案 元、B 方案 60 元，A 更省。
❌ 反例
- 「B 无月租所以永远便宜」错：超过 8 GB 后 A 的每 GB 单价更低，用量越大 A 的优势越大。
高频误解与考试易错
- 只算一个用量就下结论：两种方案各有一段「更便宜」的区间，必须找分界点分段说
- 分段计费的起点易错：「3 km 内 10 元」指不超过 3 km 都收 10 元，超出部分从第 4 km 才起算
- 交点意义说不清：交点横坐标是「两方案费用相等的用量」，不是「最优用量」；两侧各选各的方案
常见问题
方案选择题的通用流程是什么？
分段计费怎么求值？
不足 1 km 按 1 km 计怎么处理？
中考怎么考方案选择？
依据与出处
- 人教版（2024 审定）八年级下册 第二十三章《一次函数》