增长率母题：两次连续变化的方程建模

平均增长率问题的核心是「两次连续变化」：a(1+x)2=ba(1+x)^2=b。从列表试算到一元二次方程，再到负根取舍，一题贯通建模全过程。

中考经典题型 / 人教版九年级上册 共 3 种解法 · 覆盖 2 个学段

某公司 2024 年利润为 500500 万元，计划 2026 年达到 720720 万元。假设这两年利润的年增长率相同，求这个平均增长率。

答案：平均年增长率为 20%20\%。

前置知识

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适用前提与边界条件

  1. 增长率 = 增长量 ÷ 原量；连续两年同增长率，原量连乘 (1+x)2(1+x)^2
  2. 会解一元二次方程，并能检验根是否符合实际情境
教材位置 人教版 九年级上册 · 第25章 一元二次方程 北师大版 九年级上册 · 第2章 一元二次方程 苏科版 九年级上册 · 第1章 一元二次方程 浙教版 八年级下册 · 第2章 一元二次方程

知识地图

一道题，3 条路。小学到初中的工具轮番上场，每一步都只是旧知识的新组合。

两年翻到多少要长多快
 小学 初中 高中 大学 逐年列表试算 百分数 · 估算 一元二次方程（直… 直接开平方法 · 一元二次… 间接设元（设中间… 换元法 · 一元二次方程 贯穿的数学思想 方程思想 归纳思想 化归思想 换元思想

解法① 逐年列表试算 小学

核心工具：百分数、估算

试增长率 20%：第一年 500×1.2=600500\times 1.2=600 万元，第二年 600×1.2=720600\times 1.2=720 万元，恰好达到目标。

再试 10%：500×1.12=605500\times 1.1^2=605，不够；试 30%：500×1.69=845500\times 1.69=845，超出。可见答案在 10% 与 30% 之间，20% 精确命中。

点睛：先估后验，用整数好算的百分数「夹」出真值——检验类小题的实用思路。

体现思想：归纳思想

解法② 一元二次方程（直接开平方） 初中

核心工具：直接开平方法、一元二次方程

设平均年增长率为 xx。2025 年利润 500(1+x)500(1+x)，2026 年在 2025 年基础上再增长：

500(1+x)2=720500(1+x)^2=720

即 (1+x)2=1.44(1+x)^2=1.44，开平方得 1+x=±1.21+x=\pm 1.2。

- x=0.2x=0.2，即增长率 20%； - x=−2.2x=-2.2，表示每年减少 220%，不符合「增长」情境，舍去。

所以平均年增长率为 20%。

点睛：「设增长率列方程」一步到位；开平方出的两个根是否都要，由情境说了算。

体现思想：方程思想

解法③ 间接设元（设中间量） 初中

核心工具：换元法、一元二次方程

设 2025 年利润为 yy 万元。两年增长率相同，说明 2025 与 2026 年的比值等于 2024 与 2025 年的比值：

y500=720y  ⟹  y2=500×720=360000  ⟹  y=600\frac{y}{500}=\frac{720}{y} \implies y^2=500\times 720=360000 \implies y=600

于是增长率 x=600÷500−1=0.2x=600\div 500-1=0.2，即 20%。

点睛：「两年同增长率」等价于「三年利润成等比」——抓住比例关系，绕开直接的 (1+x)2(1+x)^2 也能解。

体现思想：化归思想、换元思想

思想方法总结

七种解法看似不同，背后是同一套思想在反复起作用：

思想 出现在哪些解法 起什么作用
方程思想 一元二次方程（直接开平方） —
归纳思想 逐年列表试算 —
化归思想 间接设元（设中间量） —
换元思想 间接设元（设中间量） —

生活应用

这类「条件最值」不是考试专属，生活中到处可见：

  • cun-kuan-li-xi

变式训练

  1. 某种手机售价从 4000 元连续两次降价后为 2560 元，求平均降价率。 （提示：4000(1−x)2=25604000(1-x)^2=2560，(1−x)2=0.64(1-x)^2=0.64，x=20%x=20\%（另一根 x=1.8x=1.8 舍去）。）
  2. 若按 20% 的增长率继续发展，2027 年利润预计多少万元？ （提示：720×1.2=864720\times 1.2=864 万元。）

为什么值得学三种解法

增长率问题教的不只是 这个公式，而是「连续变化要按比例叠加」的意识。方程解是通用解法；列表试算让小学阶段就能参与验证；间接设元则揭示深层结构——同增长率意味着等比关系，中项平方等于两端之积。同一道题，三个层次各取所需；而负根的取舍提醒我们：方程给的是数学解，情境选的是实际解。

正例与反例

✅ 正例

  • 500×1.22=500×1.44=720500\times 1.2^2=500\times 1.44=720，年增长率 20% 对上题设。

❌ 反例

  • 「第一年增 20%、第二年又增 20%，两年共增 40%」错：1.22=1.441.2^2=1.44，共增 44%，连续增长有叠加效应。

高频误解与考试易错

  • 漏写平方：两次连续增长是 (1+x)2(1+x)^2 不是 1+2x1+2x，后者只是近似估算
  • 负根取舍要讲理：x=−2.2x=-2.2 是方程的根但超出「增长率」的合理范围才舍；下降率问题中保留小数根、舍去大于 1 的根，标准随情境变
  • 「增长到」与「增长了」混淆：720 万元是 2026 年达到的总量，不是两年总共增加的量

常见问题

为什么是平方而不是乘 2？
第二年是在「已经长过一年的新基数」上再增长，基数变了，所以连乘两次 (1+x)(1+x)。只有当基数不变（每年都按最初量算）时才能乘 2，那是另一类问题。
解出的负根什么时候要舍？
看情境：「平均增长率」通常要求 x>−1x>-1 且符合增长含义，x=−2.2x=-2.2 表示暴跌 220%，不合题意舍去。若是下降率问题，0≤x≤10\leq x\leq 1，反过来要舍掉超过 1 的根。
这道题和复利有什么关系？
存款复利正是「每年按上一年本息和计息」的连续增长，a(1+x)na(1+x)^n 就是复利公式。会解增长率方程，就读懂了复利表。
中考还有什么变体？
下降率（手机降价）、求第三年的值（先解出 xx 再代）、以及「两次变化率不同」的推广形式 a(1+p)(1+q)=ba(1+p)(1+q)=b，思路一致。

依据与出处

  • 人教版（2024 审定）九年级上册 第二十五章《一元二次方程》
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