北师大版八年级上册第五章《二元一次方程组》教材同步学习指南

学习顺序

顺序不能颠倒：不理解“解是一对数”，消元时就会丢解；不掌握消元，应用题即使列对方程组也解不出来。

1 认识二元一次方程组

二元一次方程必须同时满足：

• 含有两个未知数
• 含未知数的项的次数都是 $1$
• 方程两边都是整式

例如 $2x+3y=12$ 是二元一次方程；$\frac{1}{x}+y=3$ 不是，因为 $x$ 在分母中；$x^2+y=1$ 也不是，因为 $x$ 的次数是 $2$。

一个二元一次方程通常有无数个解。例如 $2x+y=5$ 中，$x=1,y=3$ 是一组解，$x=2,y=1$ 也是一组解。只有方程组才可能确定唯一一组解。

2 二元一次方程组的解法

解方程组的基本思想是消元，常用两种方法。

代入消元法：

1. 从一个方程中把一个未知数用另一个未知数表示
2. 代入另一个方程，得到一元一次方程
3. 解出一元一次方程
4. 回代求另一个未知数
5. 写出方程组的解并检验

例如解 $\{\begin{array}{l}y=2x-1,\\ 3x+y=9,\end{array}$ 把 $y=2x-1$ 代入第二个方程，得 $3x+2x-1=9$，所以 $x=2$，$y=3$。

加减消元法：

1. 把两个方程中某个未知数的系数化为相同或相反数
2. 相加或相减，消去这个未知数
3. 解一元一次方程，再回代

例如解 $\{\begin{array}{l}2x+3y=12,\\ 2x-y=4,\end{array}$ 两式相减得 $4y=8$，所以 $y=2$，回代得 $x=3$。

系数简单、容易表示时用代入法；同一未知数系数相同或相反时用加减法。实际解题中两种方法可以灵活选择。

3 二元一次方程组的应用

列方程组解应用题的关键是设两个未知数，找两个独立的等量关系。一般步骤：

1. 审题，明确已知量与未知量
2. 设两个未知数
3. 找出两个等量关系，列出两个方程
4. 解方程组
5. 检验结果是否符合实际意义，写出答案

常见类型：

• 和差倍分问题：两数之和、之差、倍数关系
• 行程问题：路程等于速度乘时间，相遇、追及分别列式
• 销售问题：总价等于单价乘数量，利润等于售价减进价
• 配套问题：不同部件之间的数量比
• 几何问题：周长、面积与边长的关系

例如甲、乙两人共有 $45$ 元，甲的钱数是乙的 $2$ 倍，设甲有 $x$ 元、乙有 $y$ 元，则 $\{\begin{array}{l}x+y=45,\\ x=2y,\end{array}$ 解得 $x=30$，$y=15$。

注意单位要统一，求出的解要检验是否符合“人数为正整数”“时间非负”等实际限制。

4 二元一次方程与一次函数

二元一次方程 $ax+by=c$（$b\ne 0$）可以变形为 $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b},$ 它的图象是一条直线。于是：

• 二元一次方程的每一组解，对应直线上一个点的坐标
• 二元一次方程组的解，对应两条直线交点的坐标
• 方程组无解，对应两条直线平行（无交点）
• 方程组有无数个解，对应两条直线重合

例如方程组 $\{\begin{array}{l}x+y=3,\\ x-y=1\end{array}$ 的解是 $x=2,y=1$，也就是直线 $y=-x+3$ 与 $y=x-1$ 的交点 $(2,1)$。

这种“数”与“形”的对应，是后面用图象法解方程的基础。

5 三元一次方程组

含有三个未知数、每个方程中未知数的次数都是 $1$ 的方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的基本思想仍是消元：先消去一个未知数，把三元化为二元，再消去一个未知数，化为一元。具体步骤：

1. 观察三个方程，选择容易消去的未知数
2. 通过加减或代入，得到两个只含两个未知数的方程
3. 解这个二元一次方程组
4. 回代求出第三个未知数

例如 $\{\begin{array}{l}x+y+z=6,\\ x-y=1,\\ y+z=4,\end{array}$ 由第二式得 $x=y+1$，由第三式得 $z=4-y$，代入第一式得 $(y+1)+y+(4-y)=6$，解得 $y=1$，于是 $x=2$，$z=3$。

本章的三条主线结论

1. 解是一对数：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程，写成有序数对
2. 消元是核心：代入与加减都把二元转化为一元，三元再逐次消元
3. 方程与直线对应：方程组的解就是两直线交点坐标，无解对应平行

最容易被考的是列方程组解应用题和与一次函数的综合，最容易出错的是消元符号和漏找等量关系。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $2x+3y=12$ 是二元一次方程吗？——是
2. 方程组 $x+y=5$，$x-y=1$ 的解是什么？——$x=3,y=2$
3. 用加减法解 $2x+y=7$，$x+y=4$，消去 $y$ 后得到什么？——两式相减得 $x=3$
4. 二元一次方程 $x+y=3$ 有多少组解？——有无数多组解
5. 直线 $y=-x+3$ 与 $y=x-1$ 的交点是什么？——$(2,1)$
6. 解三元一次方程组的基本思路是什么？——消元，三元化为二元，再化为一元

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $3$ 题出错，说明加减消元的符号处理还不稳。

学完本章之后

本章把方程从一元推进到多元，并第一次把方程与图象联系起来：

• 第六章《数据的分析》：从确定性的方程转向用统计量刻画数据
• 八年级下册《不等式与不等式组》：把等号换成不等号，研究取值范围
• 八年级下册《分式与分式方程》：方程类型继续扩展
• 九年级上册《一元二次方程》：方程次数升高，解法更丰富
• 高中《线性规划》与《解析几何》：方程组与直线的对应关系进一步深化

把“设未知数、找等量关系、消元求解、回代检验”练成固定流程，方程组应用题就有了稳定的解法。