苏科版七年级下册第10章《二元一次方程组》教材同步学习指南

定义

本章把方程从“一个未知数”扩展到“两个未知数联立”。主线是：认识二元一次方程 → 组成方程组 → 消元求解 → 三元推广 → 实际应用。

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫二元一次方程。把两个二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。使方程组中每个方程左右两边都相等的两个未知数的值，叫方程组的解。

学习顺序

小节	核心任务	关键方法
10.1 二元一次方程	辨认方程，写出解	未知数次数都是 1
10.2 二元一次方程组的概念	理解“公共解”	两个方程同时成立
10.3 解二元一次方程组	消元，化为一元一次方程	代入消元、加减消元
10.4 三元一次方程组	三元化二元，再化一元	逐步消元
10.5 用二元一次方程组解决问题	找两个等量关系	设两个未知数，列两个方程

10.1 二元一次方程

二元一次方程的一般形式可以写成

$ax+by=c(a\ne 0,b\ne 0),$

其中 $a$、$b$、$c$ 是常数。例如 $2x+y=5$ 是二元一次方程，$x^2+y=1$ 不是，因为 $x$ 的次数是 2。

给定一个未知数的值，可以求出另一个未知数的值。例如 $2x+y=5$ 中，当 $x=1$ 时 $y=3$；当 $x=2$ 时 $y=1$。

10.2 二元一次方程组的概念

两个二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。例如

$\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x-y=1.\end{array}$

方程组的解必须同时满足两个方程。把 $x=3$，$y=2$ 代入，两个方程都成立，所以它是这个方程组的解。

10.3 解二元一次方程组

代入消元法：从一个方程中解出一个未知数，代入另一个方程，消去一个未知数。

例：解

$\{\begin{array}{l}y=2x-1,\\ 3x+y=9.\end{array}$

把第一个方程代入第二个：

$3x+(2x-1)=9,$

解得 $x=2$，再代回得 $y=3$。所以方程组的解是

$\{\begin{array}{l}x=2,\\ y=3.\end{array}$

加减消元法：把两个方程相加或相减，消去一个未知数。

例：解

$\{\begin{array}{l}2x+3y=8,\\ 2x-y=0.\end{array}$

两式相减消去 $x$：

$4y=8,$

所以 $y=2$，代回得 $x=1$。

10.4 三元一次方程组

三元一次方程组含有三个未知数，每个方程中未知数的次数都是 1。解法是逐步消元：

1. 选一个未知数，用两个方程消去它；
2. 再用另一组方程消去同一个未知数；
3. 得到二元一次方程组，解出两个未知数；
4. 回代求出第三个未知数。

10.5 用二元一次方程组解决问题

列方程组解应用题的一般步骤：

1. 审题，找出两个未知量和两个等量关系；
2. 设两个未知数，注明单位；
3. 根据等量关系列出两个方程；
4. 解方程组；
5. 检验并作答。

例：甲、乙两人共植树 30 棵，甲植的棵数比乙的 2 倍少 3 棵。设甲植 $x$ 棵，乙植 $y$ 棵，则

$\{\begin{array}{l}x+y=30,\\ x=2y-3.\end{array}$

代入得 $2y-3+y=30$，解得 $y=11$，$x=19$。所以甲植 19 棵，乙植 11 棵。

本章的三条主线结论

1. 消元是核心：二元化一元，三元化二元，最终回到一元一次方程
2. 方程组要同时满足：解必须代入每个方程检验
3. 应用题找两个独立等量关系：关系不够两个，就无法确定两个未知数

自测

先自己完成，再看答案：

1. 判断 $3x+2y=6$ 是不是二元一次方程。——是
2. 解方程组 $x+y=7$，$x-y=3$。——$x=5$，$y=2$
3. 解方程组 $2x+y=5$，$x+y=3$。——$x=2$，$y=1$
4. 解方程组 $x+y+z=6$，$x-y=1$，$y+z=4$。——$x=2$，$y=1$，$z=3$
5. 甲、乙两数之和为 20，甲比乙大 4，求两数。——甲 12，乙 8
6. 一张试卷共 20 题，答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分，小明得 79 分，他答对几题？——设答对 $x$ 题，答错 $y$ 题，$x+y=20$，$5x-2y=79$，解得 $x=17$，$y=3$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 6 题出错，通常是等量关系或扣分符号没有处理好。

学完本章之后

本章是方程思想的重要升级：

• 第11章《一元一次不等式》：把等号换成不等号，消元思想仍然适用；
• 八年级《一次函数》：二元一次方程的解对应一条直线，方程组的解对应两条直线的交点；
• 九年级《一元二次方程》：从一次方程组走向二次方程。

把“消元”和“检验”两件事做扎实，方程组就不再是难题。