北师大版八年级上册第四章《一次函数》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：函数概念 → 一次函数 → 图象与性质 → 实际应用。

在一个变化过程中，如果有两个变量 $x$ 与 $y$，并且对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么称 $y$ 是 $x$ 的函数，$x$ 是自变量。

形如 $y=kx+b(k\ne 0)$ 的函数叫做一次函数。当 $b=0$ 时，$y=kx$（$k\ne 0$）叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊情况。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 函数	理解变量之间的对应关系	函数概念与三种表示法
2 认识一次函数	识别一次函数与正比例函数	解析式 $y=kx+b$
3 一次函数的图象	画图象，读性质	直线、增减性、截距
4 一次函数的应用	用函数模型解决问题	待定系数法与方案选择

顺序不能颠倒：不理解“唯一确定”的对应关系，就抓不住函数本质；不掌握图象与性质，应用时只能机械代公式。

1 函数

函数的三种表示方法：

• 解析式法：用式子表示，如 $y=2x+1$
• 列表法：用表格列出自变量与函数值
• 图象法：在坐标系中描点连线

判断两个变量是否构成函数关系，关键看“对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 是否唯一确定”。例如 $y^2=x$ 中，当 $x=4$ 时 $y=\pm 2$，$y$ 不唯一，所以 $y$ 不是 $x$ 的函数。

实际问题中，自变量往往有取值范围。例如人数只能取非负整数，时间不能为负。写函数解析式时不能忽略取值范围。

2 认识一次函数

一次函数 $y=kx+b$ 中，$k$、$b$ 是常数，且 $k\ne 0$。$k$ 叫比例系数，$b$ 叫常数项。

判断一个函数是否为一次函数：

1. 右边是关于 $x$ 的整式
2. $x$ 的次数是 $1$
3. $x$ 的系数不为 $0$

例如 $y=3x-2$、$y=-\frac{1}{2}x$、$y=5$ 中，前两个是一次函数，$y=5$ 不是（$x$ 的系数为 $0$）。$y=\frac{1}{x}$ 也不是一次函数，因为 $x$ 在分母中。

正比例函数 $y=kx$ 的图象经过原点，$k$ 的绝对值越大，直线越陡。

3 一次函数的图象

一次函数的图象是一条直线。画图时取两个点即可，通常取与坐标轴的交点：

• 与 $y$ 轴交点：令 $x=0$，得 $(0,b)$
• 与 $x$ 轴交点：令 $y=0$，得 $\left(-\frac{b}{k},0\right)$

性质：

$k$ 的符号	增减性	图象走向
$k>0$	$y$ 随 $x$ 增大而增大	从左下到右上
$k<0$	$y$ 随 $x$ 增大而减小	从左上到右下

$b$ 决定直线与 $y$ 轴的交点位置：$b>0$ 交于正半轴，$b<0$ 交于负半轴，$b=0$ 经过原点。

待定系数法求一次函数解析式：

1. 设 $y=kx+b$
2. 代入两个已知点的坐标，得到关于 $k$、$b$ 的方程组
3. 解方程组，求出 $k$、$b$
4. 写出解析式并检验

例如直线经过 $(0,1)$ 和 $(2,5)$，代入得 $b=1$，$2k+1=5$，所以 $k=2$，解析式为 $y=2x+1$。

4 一次函数的应用

一次函数应用题的常见类型：

• 分段计费：水费、电费、出租车费，不同区间对应不同解析式
• 方案选择：比较两种收费方式，令两个函数值相等求临界点，再分情况讨论
• 行程问题：路程与时间的关系，图象的斜率表示速度
• 几何问题：用坐标表示动点，建立函数关系求面积等

解题步骤：

1. 设自变量与函数，明确实际意义
2. 根据等量关系列解析式
3. 确定自变量的取值范围
4. 利用图象或性质求解，并回到实际情境检验

一次函数与方程、不等式也有联系：方程 $kx+b=0$ 的解，就是图象与 $x$ 轴交点的横坐标；不等式 $kx+b>0$ 的解集，就是图象在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 的取值范围。

本章的三条主线结论

1. 函数是唯一对应：一个自变量值对应唯一的函数值，实际问题要注意取值范围
2. 一次函数由 k 和 b 决定：$k$ 定增减，$b$ 定截距，两个条件确定一条直线
3. 应用要建模：先列解析式，再看范围，最后用图象或性质求解

最容易被考的是待定系数法与方案选择，最容易出错的是忽略 $k\ne 0$、忘记取值范围和混淆增减性。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $y=3x-2$ 是一次函数吗？——是，$k=3$，$b=-2$
2. $y=5$ 是一次函数吗？——不是，$x$ 的系数为 $0$
3. 一次函数 $y=-2x+4$ 中，$y$ 随 $x$ 增大而怎样变化？——减小
4. 直线 $y=2x+1$ 与 $y$ 轴的交点是什么？——$(0,1)$
5. 直线经过 $(0,2)$ 和 $(3,5)$，求解析式。——$y=x+2$
6. 方程 $2x+1=0$ 的解与直线 $y=2x+1$ 有什么关系？——解 $x=-\frac{1}{2}$ 是直线与 $x$ 轴交点的横坐标

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $2$ 题出错，说明一次函数的定义还没记准。

学完本章之后

本章是初中函数学习的起点：

• 第五章《二元一次方程组》：两个一次函数图象的交点对应方程组的解
• 八年级下册《不等式与不等式组》：用一次函数图象解一元一次不等式
• 九年级上册《反比例函数》：与一次函数对比，研究另一类图象
• 九年级下册《二次函数》：函数学习的进一步深化
• 高中《函数》：单调性、图象变换等概念在初中一次函数中已有雏形

把“先列式、再画图、后看范围”的流程练熟，一次函数应用题就能稳稳落地。