浙教版七年级下册第2章《二元一次方程组》教材同步学习指南

定义

含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫二元一次方程，一般形式为

$ax+by=c(a,b\text{不同时为 }0).$

两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组；使每个方程都成立的一对未知数的值，叫方程组的解。解方程组的关键是消元：通过代入或加减，把二元化为一元。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 二元一次方程	辨认方程，理解解的含义	会判断是否二元一次方程，会写出一组解
2.2 二元一次方程组和它的解	理解公共解	会检验一对值是否为方程组的解
2.3 解二元一次方程组	用代入法、加减法消元	把二元方程组化为一元一次方程
2.4 二元一次方程组的应用	找两个等量关系并建模	列、解、检验、答完整
2.5 三元一次方程组及其解法	逐步消元	三元化二元，再化一元

2.1 二元一次方程

判断一个方程是不是二元一次方程，看三点：只含两个未知数；含未知数的项的次数都是 1；等号两边都是整式。

例：$2x+y=5$ 是二元一次方程。取 $x=1$，得 $y=3$，代回 $2\times 1+3=5$，所以 $x=1$、$y=3$ 是一组解；取 $x=2$，得 $y=1$，$4+1=5$，也是一组解；取 $x=0$，得 $y=5$，仍是一组解。可见二元一次方程通常有无数组解。

如果限定 $x$、$y$ 都是正整数，那么 $2x+y=5$ 只有 $x=1$、$y=3$ 和 $x=2$、$y=1$ 两组解。

易错：$2xy=6$ 中含未知数的项 $xy$ 的次数是 2，不是二元一次方程；$\frac{1}{x}+y=3$ 的分母含未知数，不是整式方程；二元一次方程的一组解是一对数，不能只写一个未知数的值。

2.2 二元一次方程组和它的解

由两个二元一次方程组成、共含两个未知数的方程组叫二元一次方程组。方程组的解是组成方程组的各个方程的公共解。

例：方程组

$\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x-y=1.\end{array}$

把 $x=3$、$y=2$ 代入：$3+2=5$，$3-2=1$，两个方程都成立，所以 $x=3$、$y=2$ 是方程组的解。

把 $x=2$、$y=3$ 代入：$2+3=5$ 成立，但 $2-3=-1\ne 1$，只满足第一个方程，所以它不是方程组的解。

易错：检验方程组的解必须逐个方程代入，不能只验一个；解要写成一对值，通常用 $\{\begin{array}{l}x=3,\\ y=2\end{array}$ 的形式。

2.3 解二元一次方程组

代入消元法：把一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程，消去一个未知数。

加减消元法：当同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程相减或相加，消去这个未知数；系数不同时，先乘适当的数再加减。

例：解方程组

$\{\begin{array}{l}2x+3y=12,\\ x-y=1.\end{array}$

由第二个方程得 $x=y+1$。代入第一个方程：

$2(y+1)+3y=12⟹2y+2+3y=12⟹5y=10⟹y=2.$

再代回 $x=y+1$，得 $x=3$。所以

$\{\begin{array}{l}x=3,\\ y=2.\end{array}$

检验：$2\times 3+3\times 2=12$，$3-2=1$，都成立。

此题也可用加减法：第二个方程两边乘 2，得 $2x-2y=2$；与第一个方程相减，得 $5y=10$，同样得到 $y=2$。

易错：代入时括号不能丢，$2(y+1)$ 不能写成 $2y+1$；加减时注意符号；求出解后要回代检验；解集不能只写 $x=3$ 或只写 $y=2$。

2.4 二元一次方程组的应用

列方程组解应用题的一般步骤：

1. 审题，明确要求的两个量；
2. 设两个未知数，通常带单位；
3. 找出两个独立的等量关系，列出方程组；
4. 解方程组；
5. 检验方程和实际意义；
6. 写出答句。

例：买 3 支笔和 2 本笔记本共 19 元，买 2 支笔和 5 本笔记本共 31 元。求笔和笔记本的单价。

设笔的单价为 $x$ 元，笔记本的单价为 $y$ 元。由题意

$\{\begin{array}{l}3x+2y=19,\\ 2x+5y=31.\end{array}$

第一个方程乘 5，第二个方程乘 2：

$\{\begin{array}{l}15x+10y=95,\\ 4x+10y=62.\end{array}$

两式相减得 $11x=33$，所以 $x=3$。代入 $3x+2y=19$，得 $9+2y=19$，所以 $y=5$。

检验：$3\times 3+2\times 5=19$，$2\times 3+5\times 5=31$，且单价均为正数，符合实际。答：笔的单价为 3 元，笔记本的单价为 5 元。

易错：两个未知数必须配两个独立方程；等量关系要对应同一单位；解出负数或不符合实际的值要舍去；答句要写清两个量。

2.5 三元一次方程组及其解法

含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫三元一次方程组。解法仍是消元：先消去一个未知数，化为二元一次方程组，再化为一元一次方程。

例：解方程组

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6,\\ x-y=1,\\ y+z=4.\end{array}$

由第二个方程得 $x=y+1$，由第三个方程得 $z=4-y$。都代入第一个方程：

$(y+1)+y+(4-y)=6⟹y+5=6⟹y=1.$

于是 $x=1+1=2$，$z=4-1=3$。所以

$\{\begin{array}{l}x=2,\\ y=1,\\ z=3.\end{array}$

检验：$2+1+3=6$，$2-1=1$，$1+3=4$，三个方程都成立。

易错：消元前先确定消哪个未知数，避免来回换；每消一次都要用上所有相关方程；回代时把 $x$、$y$、$z$ 的对应关系弄混；最后要三个方程一起检验。

本章的三条主线结论

1. 消元是核心：二元化一元，三元化二元，方程组最终都转化为一元一次方程。
2. 解必须是公共解：方程组的解要同时满足每一个方程，检验时逐个代入。
3. 应用题的成败在等量关系：设两个未知数就找两个独立关系，解完还要检验实际意义。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $2x+3y=6$ 是二元一次方程吗？——是
2. 写出 $x+2y=7$ 的所有正整数解。——$x=1$、$y=3$；$x=3$、$y=2$；$x=5$、$y=1$
3. 解方程组 $x+y=7$、$x-y=3$。——$x=5$、$y=2$
4. 解方程组 $y=2x$、$3x+y=10$。——$x=2$、$y=4$
5. 2 支笔和 3 本本子共 13 元，4 支笔和 1 本本子共 11 元，求单价。——笔 2 元，本子 3 元
6. 解三元一次方程组 $x+y+z=6$、$x-y=1$、$y+z=4$。——$x=2$、$y=1$、$z=3$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4、6 题出错，说明消元步骤还不熟，需要把“变形—代入或加减—回代—检验”完整写一遍。

学完本章之后

本章把一元方程扩展为多元方程组，核心方法会一直沿用：

• 八年级上册《一元一次不等式》：把等号换成不等号，解的表示变成范围；
• 八年级下册《一元二次方程》：除了消元，还要用因式分解、配方等方法降次；
• 高中《平面解析几何》：两条直线方程联立求交点，本质上就是解二元一次方程组。

把“先观察系数、再选代入或加减、最后代回检验”固化成步骤，方程组题就能稳定得分。