北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：确定位置 → 建立坐标系 → 用坐标刻画图形变换。

确定位置需要两个独立的数据。教室里用“第几列、第几行”，地图上用经度和纬度，航海上用方向和距离。把两个数据按固定顺序写成一对，就是有序数对。

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，水平的叫 $x$ 轴，竖直的叫 $y$ 轴，就建立了平面直角坐标系。平面内的点与有序实数对一一对应。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 确定位置	用两个数据唯一确定位置	有序数对、方向与距离
2 平面直角坐标系	建立坐标系，读点与描点	象限、坐标特征、距离
3 轴对称与坐标变化	用坐标表示对称与平移	坐标变化规律

顺序不能颠倒：不会用两个数据定位，就理解不了坐标为什么是一对数；不熟悉坐标系，就无法研究图形的坐标变化。

1 确定位置

确定位置的方法有多种：

• 有序数对：如第 $3$ 列第 $2$ 行记作 $(3,2)$，顺序不同位置就不同
• 方向与距离：如“北偏东 $30^{\circ }$，距离 $5$ 千米”
• 经纬度：地球表面用经度和纬度定位
• 区域定位：用行列、区域编号等

无论哪种方法，本质都是用两个独立信息确定平面内一个点的位置。只有一个数据，无法唯一确定位置。

2 平面直角坐标系

平面直角坐标系把平面分成四个象限：

象限	横坐标	纵坐标
第一象限	正	正
第二象限	负	正
第三象限	负	负
第四象限	正	负

坐标轴上的点不属于任何象限：

• $x$ 轴上的点纵坐标为 $0$，形如 $(x,0)$
• $y$ 轴上的点横坐标为 $0$，形如 $(0,y)$
• 原点是 $(0,0)$

点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y|$，到 $y$ 轴的距离是 $|x|$，到原点的距离是 $\sqrt{x^2+y^2}$。

用坐标表示地理位置的一般步骤：

1. 选择合适的点为原点
2. 确定 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向
3. 确定单位长度
4. 写出各点的坐标，并注明比例尺

建立坐标系的方式不唯一，原点选得不同，同一个点的坐标也会不同。但图形之间的相对位置关系不变。

3 轴对称与坐标变化

点 $P(x,y)$ 的对称点坐标：

• 关于 $x$ 轴对称：$(x,-y)$
• 关于 $y$ 轴对称：$(-x,y)$
• 关于原点对称：$(-x,-y)$

记忆方法：关于哪条轴对称，哪条坐标不变，另一条变号；关于原点对称，两条都变号。

图形的轴对称可以转化为对应点坐标的变化。例如把三角形各顶点关于 $y$ 轴作对称点，再依次连接，就得到原图形关于 $y$ 轴的对称图形。

平移的坐标变化：

• 向右平移 $a$ 个单位，横坐标加 $a$；向左平移，横坐标减 $a$
• 向上平移 $b$ 个单位，纵坐标加 $b$；向下平移，纵坐标减 $b$

口诀是“右加左减，上加下减”。平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。

两点间距离公式：若 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则 $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$ 这个公式可以由勾股定理推出：把两点放到一个直角三角形中，水平边长为 $|x_2-x_1|$，竖直边长为 $|y_2-y_1|$。

本章的三条主线结论

1. 定位需要两个数据：有序数对、方向与距离、经纬度都是这一思想的不同表达
2. 坐标与点一一对应：象限符号、坐标轴上的点、点到坐标轴的距离都要熟练掌握
3. 变换转化为坐标变化：轴对称看符号，平移看加减，距离用勾股定理

最容易被考的是对称点坐标与平移规律，最容易出错的是坐标顺序、象限归属和符号变化。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 点 $(-3,2)$ 在第几象限？——第二象限
2. 点 $(0,-4)$ 在什么位置？——$y$ 轴负半轴，不属于任何象限
3. 点 $(5,-1)$ 关于 $x$ 轴的对称点是什么？——$(5,1)$
4. 点 $(-2,3)$ 关于 $y$ 轴的对称点是什么？——$(2,3)$
5. 点 $(1,2)$ 向右平移 $3$ 个单位、向下平移 $1$ 个单位后是什么？——$(4,1)$
6. 求点 $A(1,2)$ 与 $B(4,6)$ 之间的距离。——$\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=5$

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $2$ 题出错，说明象限与坐标轴的概念还没分清。

学完本章之后

本章是“数”与“形”真正合流的开始：

• 第四章《一次函数》：函数图象画在平面直角坐标系中，交点、增减性都借助坐标研究
• 八年级下册《图形的平移与旋转》：用坐标描述平移，进一步研究旋转与中心对称
• 九年级上册《反比例函数》与《二次函数》：图象与坐标轴的交点、顶点都依赖坐标系
• 高中《解析几何》：用代数方程研究几何图形，本章是起点

把“先定位、再读坐标、最后看变换”的顺序练熟，坐标题就能稳步得分。