浙教版八年级上册第4章《图形与坐标》教材同步学习指南

定义

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴叫 $x$ 轴（横轴），竖直的数轴叫 $y$ 轴（纵轴），交点叫原点。

对于平面内任意一点 $P$，过 $P$ 分别向 $x$ 轴、$y$ 轴作垂线，垂足在 $x$ 轴、$y$ 轴上对应的数 $a$、$b$ 分别叫点 $P$ 的横坐标、纵坐标，有序数对 $(a,b)$ 叫点 $P$ 的坐标。

本章主线：建立坐标系 → 用方向和距离定位 → 轴对称与平移的坐标变化。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 平面直角坐标系	由点写坐标，由坐标描点	掌握象限与坐标符号的对应
4.2 用方向和距离确定物体的位置	用参照点、方向、距离定位	会把实际位置写成坐标
4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移	归纳对称与平移的坐标规律	会求对称点、平移后的点

4.1 平面直角坐标系

两条坐标轴把平面分成四个象限，从右上角开始按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。

象限	横坐标	纵坐标
第一象限	正	正
第二象限	负	正
第三象限	负	负
第四象限	正	负

点 $P(a,b)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|b|$，到 $y$ 轴的距离是 $|a|$。

例：点 $A(-3,2)$ 在第二象限，到 $x$ 轴的距离为 2，到 $y$ 轴的距离为 3；点 $B(0,-4)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，不属于任何象限。

易错：坐标是有序数对，$(-3,2)$ 与 $(2,-3)$ 是两个不同的点；原点既在 $x$ 轴上，也在 $y$ 轴上。

4.2 用方向和距离确定物体的位置

只用“方向”或只用“距离”都不能唯一确定物体的位置，必须同时给出参照点、方向和距离。

方向通常写成“北偏东 $30^{\circ }$”“南偏西 $45^{\circ }$”等形式：以正北或正南方向为始边，向东或向西旋转。观测点与被观测点互换时，方向相反、距离不变。

用坐标表示地理位置时，要先建立合适的平面直角坐标系：选定原点，确定 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向和单位长度，再写出各地点的坐标。

例：以学校为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向，1 个单位长度表示 100 m。图书馆的坐标为 $(3,4)$，表示图书馆在学校正东 300 m、正北 400 m 处，到学校的直线距离为 5 个单位长度，即 500 m。

例：轮船 $A$ 在灯塔 $B$ 的南偏东 $40^{\circ }$ 方向，距灯塔 20 海里，则灯塔 $B$ 在轮船 $A$ 的北偏西 $40^{\circ }$ 方向，距轮船 20 海里。

易错：方向角要以正北或正南为始边，不能把“东偏北 $40^{\circ }$”与“北偏东 $40^{\circ }$”当成同一个方向；互换观测点时方向要反过来。

4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移

关于坐标轴对称的点的坐标规律：

对称轴	点 $(a,b)$ 的对称点	变化规律
$x$ 轴	$(a,-b)$	横坐标不变，纵坐标互为相反数
$y$ 轴	$(-a,b)$	纵坐标不变，横坐标互为相反数

平移规律：点 $(a,b)$ 向右平移 $m$ 个单位得 $(a+m,b)$，向左平移 $m$ 个单位得 $(a-m,b)$；向上平移 $n$ 个单位得 $(a,b+n)$，向下平移 $n$ 个单位得 $(a,b-n)$。平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，图形的形状、大小不变。

例：$△ABC$ 的三个顶点为 $A(1,1)$、$B(3,1)$、$C(2,3)$。作关于 $y$ 轴的对称图形，对应顶点为 $A^{\prime }(-1,1)$、$B^{\prime }(-3,1)$、$C^{\prime }(-2,3)$；把原三角形向右平移 2 个单位、向下平移 1 个单位，对应顶点为 $A^{\prime \prime }(3,0)$、$B^{\prime \prime }(5,0)$、$C^{\prime \prime }(4,2)$。

易错：关于 $x$ 轴对称是纵坐标变号，关于 $y$ 轴对称是横坐标变号，两者不要记反；平移时“左减右加”只作用于横坐标，“下减上加”只作用于纵坐标。

本章的三条主线结论

1. 坐标是有序数对：横坐标在前、纵坐标在后，符号决定象限。
2. 定位有两种语言：坐标与“方向 + 距离”，选定参照点后可以互相转化。
3. 对称改符号、平移改加减：横坐标管左右，纵坐标管上下，图形形状大小不变。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 点 $(-4,-5)$ 在第几象限？——第三象限。
2. 点 $(2,-3)$ 关于 $x$ 轴的对称点是什么？——$(2,3)$。
3. 点 $(-1,4)$ 关于 $y$ 轴的对称点是什么？——$(1,4)$。
4. 点 $(0,5)$ 在什么位置？——$y$ 轴正半轴，不属于任何象限。
5. 点 $(2,1)$ 向左平移 3 个单位、向下平移 2 个单位后的坐标是什么？——$(-1,-1)$。
6. 以学校为原点，图书馆坐标为 $(3,4)$，1 个单位长度表示 100 m，它到学校的距离是多少？——500 m。

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、5 题出错，说明对称与平移的坐标变化还需再记。

学完本章之后

• 第5章《一次函数》：函数图象画在平面直角坐标系中，图象上的点与坐标一一对应。
• 八年级下册《反比例函数》：双曲线的两支与象限分布，都依赖坐标系来刻画。
• 高中《解析几何》：用坐标表示点、直线与曲线，把几何问题转化为代数问题。