北师大版八年级上册第二章《实数》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：数系扩充 → 开方运算 → 二次根式。

有理数可以写成有限小数或无限循环小数。但勾股定理告诉我们，直角边为 $1$ 的等腰直角三角形，斜边长为 $\sqrt{2}$，它不是有理数。于是把无限不循环小数称为无理数，有理数和无理数统称实数。

实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点也都对应一个实数。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 认识实数	认识无理数，建立实数系	实数分类与数轴对应
2 平方根与立方根	由平方、立方逆运算开方	平方根、算术平方根、立方根
3 二次根式	研究含根号的式子	性质、化简与加减

顺序不能颠倒：不理解无理数，就不知道为什么要引入根号；不掌握平方根与立方根，就无法化简二次根式。

1 认识实数

无理数是无限不循环小数，常见形式有三类：

• 开方开不尽的数，如 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$
• 圆周率 $\pi$ 及其相关形式，如 $2\pi$
• 有规律但不循环的小数，如 $0.1010010001\cdots$

实数可以按定义分为有理数和无理数，也可以按正负分为正实数、零、负实数。

在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。实数与数轴上的点一一对应，因此可以用数轴比较实数的大小。例如 $\sqrt{2}\approx 1.414$，所以 $\sqrt{2}$ 在 $1$ 与 $2$ 之间，且 $\sqrt{2}<2$。

估算是本章的重要技能：确定一个无理数在哪两个相邻整数之间，或比较两个无理数的大小。例如因为 $1.4^2=1.96<2<2.25=1.5^2$，所以 $1.4<\sqrt{2}<1.5$。

2 平方根与立方根

如果 $x^2=a$（$a\ge 0$），那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数 $a$ 的正平方根叫做算术平方根，记作 $\sqrt{a}$（$a\ge 0$）。因此：

• $16$ 的平方根是 $\pm 4$
• $16$ 的算术平方根是 $4$
• $\sqrt{16}=4$

如果 $x^3=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。正数的立方根为正，负数的立方根为负，零的立方根为零。例如 $\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$。

重要性质： ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a(a\ge 0),\sqrt{a^2}=|a|.$ $\sqrt{a^2}=|a|$ 是易错点：当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a$，不能直接写成 $a$。

3 二次根式

形如 $\sqrt{a}$（$a\ge 0$）的式子叫做二次根式。二次根式有意义的条件是被开方数非负；如果根式在分母中，还要保证分母不为零。

二次根式的性质： $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}(a\ge 0,b\ge 0),\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge 0,b>0).$

最简二次根式满足：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母，分母中不含根号。化简时把能开方的因数移到根号外，例如 $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3},\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

二次根式的加减：先化成最简二次根式，再把被开方数相同的项合并。例如 $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2},\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}.$ 被开方数不同的二次根式不能直接合并，如 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 不能再化简。

二次根式的乘除按性质进行，结果要化成最简形式。分母有理化时，分子分母同乘适当的因式，例如 $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

本章的三条主线结论

1. 实数系扩展：无理数是无限不循环小数，实数与数轴上的点一一对应
2. 开方要分清：正数有两个平方根，算术平方根只取非负值，负数有立方根但没有平方根
3. 根式先化简：二次根式运算前化成最简形式，加减只合并同类二次根式

最容易被考的是 $\sqrt{a^2}=|a|$、平方根与算术平方根的区别，以及二次根式有意义的条件。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $\sqrt{81}$ 等于多少？——$9$
2. $81$ 的平方根是多少？——$\pm 9$
3. $\sqrt[3]{-27}$ 等于多少？——$-3$
4. $\sqrt{(-5{)}^2}$ 等于多少？——$5$
5. $\sqrt{50}-\sqrt{18}$ 等于多少？——$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
6. 使 $\sqrt{x-2}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是什么？——$x\ge 2$

答对 $5$ 题以上，本章概念基本过关；第 $4$ 题出错，说明 $\sqrt{a^2}=|a|$ 还没真正理解。

学完本章之后

本章完成了初中数系的第二次扩充：

• 第三章《位置与坐标》：平面直角坐标系中的距离会出现无理数，数轴与坐标的思想一脉相承
• 第四章《一次函数》：函数自变量的取值常涉及根式有意义的条件
• 八年级下册《三角形的证明》：勾股定理与二次根式结合求线段长
• 九年级上册《一元二次方程》：求根公式与配方法都要用到平方根
• 高中《复数》：数系还会继续扩充，负数开平方将得到虚数

把“先看被开方数的符号，再决定能否开方；先化简，再运算”练成习惯，实数与根式的题就不会乱。