苏科版八年级上册第5章《一次函数》教材同步学习指南

定义

本章第一次系统研究函数。主线是：变量与函数 → 一次函数的概念 → 图象与性质 → 实际应用 → 与二元一次方程的联系。

一般地，形如

$y=kx+b(k\ne 0,k、b\text{ 为常数})$

的函数叫一次函数。当 $b=0$ 时，$y=kx$ 叫正比例函数，它是一次函数的特殊情形。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 变量与函数	理解变量、自变量、函数值	会判断函数关系，会求函数值
5.2 一次函数的概念	辨认一次函数	确定 $k$、$b$
5.3 一次函数的图象与性质	画图象，看增减性	掌握 $k$、$b$ 的作用
5.4 用一次函数解决问题	建模、求最值、比较方案	把实际问题转化为一次函数
5.5 一次函数与二元一次方程	用图象解方程组	交点坐标就是方程组的解

5.1 变量与函数

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量。

如果对于自变量 $x$ 的每一个确定的值，因变量 $y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么 $y$ 是 $x$ 的函数。函数的表示方法有三种：

• 解析式法：如 $y=2x+1$；
• 列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系；
• 图象法：在坐标平面内画出函数的图象。

5.2 一次函数的概念

一次函数的一般形式是 $y=kx+b$，其中 $k\ne 0$。判断时看两点：

1. 自变量 $x$ 的次数是 1；
2. 系数 $k\ne 0$。

例如 $y=3x-2$、$y=-x$ 是一次函数；$y=x^2+1$ 不是，因为 $x$ 的次数是 2；$y=\frac{1}{x}+1$ 也不是，因为 $x$ 在分母中。

5.3 一次函数的图象与性质

一次函数的图象是一条直线。画图时通常取两个点，例如与 $y$ 轴的交点 $(0,b)$ 和与 $x$ 轴的交点 $\left(-\frac{b}{k},0\right)$。

性质：

$k$ 的符号	图象方向	增减性
$k>0$	从左到右上升	$y$ 随 $x$ 增大而增大
$k<0$	从左到右下降	$y$ 随 $x$ 增大而减小

$b$ 决定图象与 $y$ 轴的交点 $(0,b)$：$b>0$ 时交点在 $y$ 轴正半轴，$b<0$ 时在负半轴，$b=0$ 时过原点。

例：画 $y=2x-1$ 的图象。取 $x=0$，得 $y=-1$；取 $x=1$，得 $y=1$。过点 $(0,-1)$ 和 $(1,1)$ 画直线即可。

5.4 用一次函数解决问题

用一次函数解决实际问题的步骤：

1. 设自变量和函数；
2. 根据题意写出解析式；
3. 确定自变量的取值范围；
4. 利用图象或性质求值、比较方案、求最值；
5. 检验并作答。

例：某网约车计费方式为起步价 8 元，超过 3 千米后每千米 2 元。设行驶里程为 $x$ 千米（$$\begin{gathered} x \\ ge3 \end{gathered}$$），车费为 $y$ 元，则

$y=8+2(x-3)=2x+2.$

行驶 10 千米时，$$\begin{gathered} y=2 \\ times10+2=22 \end{gathered}$$ 元。

5.5 一次函数与二元一次方程

二元一次方程 $ax+by=c$（$b\ne 0$）可以变形为

$$\begin{gathered} y=- \\ fracabx+ \\ fraccb, \end{gathered}$$

所以它的解对应一条直线上的点。两个一次函数图象的交点，就是对应二元一次方程组的解。

例：解方程组

$$\begin{gathered} begincasesy=2x-1, \\ y=-x+5. \\ endcases \end{gathered}$$

令 $2x-1=-x+5$，得 $x=2$，$y=3$。所以交点为 $(2,3)$，方程组的解为 $x=2$，$y=3$。

本章的三条主线结论

1. 函数是“唯一对应”：一个自变量值只对应一个函数值
2. $k$ 管增减，$b$ 管截距：看图象先看 $k$ 的符号，再看与 $y$ 轴的交点
3. 函数与方程可以互译：图象交点就是方程组的解

自测

先自己完成，再看答案：

1. 判断 $y=-2x+3$ 是不是一次函数。——是
2. 一次函数 $y=3x-6$ 与 $y$ 轴的交点是什么？——$(0,-6)$
3. $y=-x+2$ 中，$y$ 随 $x$ 增大而怎样变化？——减小
4. 求 $y=2x+1$ 与 $y=-x+4$ 的交点。——$(1,3)$
5. 某商品单价 5 元，买 $x$ 件的总价 $y$ 与 $x$ 的关系是什么？——$y=5x$
6. 一次函数 $y=2x-4$ 与 $x$ 轴的交点是什么？——$(2,0)$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、6 题出错，说明 $y$ 轴交点与 $x$ 轴交点的求法还需区分。

学完本章之后

本章是函数体系的起点：

• 九年级《反比例函数》：从一次函数走向非线性函数；
• 九年级《二次函数》：研究抛物线的图象与性质；
• 高中《函数》：单调性、奇偶性、最值等概念都在本章基础上深化。

把“解析式—图象—性质—应用”四件事连成一条线，函数学习就有了固定路径。