浙教版八年级上册第5章《一次函数》教材同步学习指南

定义

在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量。

一般地，在某个变化过程中有两个变量 $x$、$y$，如果对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么称 $y$ 是 $x$ 的函数，$x$ 叫自变量。

形如 $y=kx+b$（$k$、$b$ 为常数，$k\ne 0$）的函数叫一次函数。当 $b=0$ 时，$y=kx$（$k\ne 0$）叫正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况。

本章主线：常量与变量 → 函数概念 → 一次函数 → 图象与性质 → 实际应用。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 常量与变量	在一个变化过程中区分常量与变量	会判断常量和变量
5.2 认识函数	理解“唯一确定”的对应关系	掌握三种表示法与自变量取值范围
5.3 一次函数的意义	识别一次函数与正比例函数	会用待定系数法求解析式
5.4 一次函数的图象与性质	画直线，读 $k$、$b$ 的作用	掌握增减性与象限分布
5.5 一次函数的简单应用	用函数模型解决实际问题	会建模、比较方案、定取值范围

5.1 常量与变量

常量与变量是相对于某一个变化过程而言的。同一个字母在不同的过程中身份可能不同；$\pi$ 是常数，不是变量。

例：圆的面积公式 $S=\pi r^2$ 中，$\pi$ 是常量，$r$ 与 $S$ 是变量；汽车以 60 km/h 匀速行驶，路程 $s=60t$ 中，60 是常量，$t$ 与 $s$ 是变量。

易错：不要看到字母就认定是变量，表示固定数值的字母（如 $\pi$、题目中给定不变的系数）是常量。

5.2 认识函数

函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法。

判断两个变量是否构成函数关系，关键是“对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 是否唯一确定”。例如 $y^2=x$ 中，$x=4$ 时 $y=\pm 2$，$y$ 不唯一，所以 $y$ 不是 $x$ 的函数。

函数自变量的取值范围要使解析式有意义，并使实际问题有意义：分式中分母不能为 0，实际问题中人数、时间等通常取非负数。

例：$y=\frac{1}{x-2}$ 中，$x\ne 2$；汽车行驶 $s=60t$，若全程 300 km，则 $0\le t\le 5$，当 $t=2.5$ 时 $s=150$。

易错：函数关系不一定能用解析式表示；一个 $x$ 只能对应一个 $y$，但不同的 $x$ 可以对应同一个 $y$。

5.3 一次函数的意义

一次函数 $y=kx+b$ 中，$k\ne 0$，$b$ 可以为 0。判断时要先化简，再看未知数的次数是否为 1、系数是否不为 0。

例：$y=2(x-1)+3$ 化简为 $y=2x+1$，是一次函数；$y=\frac{2}{x}$ 不是一次函数；$y=x^2+1$ 不是一次函数；$y=3$ 不是一次函数。

例：已知 $y$ 是 $x$ 的一次函数，当 $x=1$ 时 $y=5$，当 $x=-1$ 时 $y=1$，求解析式。设 $y=kx+b$，则 $\{\begin{array}{l}k+b=5\\ -k+b=1\end{array}$ 解得 $k=2$，$b=3$，所以 $y=2x+3$。检验：$x=0$ 时 $y=3$，与 $b=3$ 一致。

易错：$k\ne 0$ 是一次函数定义的一部分，$y=b$ 是常数函数，不是一次函数；正比例函数必须过原点。

5.4 一次函数的图象与性质

一次函数 $y=kx+b$ 的图象是一条直线，通常取两个点即可画出，例如 $(0,b)$ 与 $(1,k+b)$，或取与坐标轴的交点。

$k$、$b$ 的符号	图象经过的象限	增减性
$k>0$，$b>0$	第一、二、三象限	$y$ 随 $x$ 增大而增大
$k>0$，$b<0$	第一、三、四象限	$y$ 随 $x$ 增大而增大
$k<0$，$b>0$	第一、二、四象限	$y$ 随 $x$ 增大而减小
$k<0$，$b<0$	第二、三、四象限	$y$ 随 $x$ 增大而减小

直线与 $y$ 轴交于点 $(0,b)$，$b$ 就是交点的纵坐标；与 $x$ 轴交于点 $\left(-\frac{b}{k},0\right)$。

例：$y=-2x+4$ 中 $k=-2<0$，$y$ 随 $x$ 增大而减小；令 $x=0$ 得 $y=4$，与 $y$ 轴交于 $(0,4)$；令 $y=0$ 得 $x=2$，与 $x$ 轴交于 $(2,0)$。

易错：$b$ 是与 $y$ 轴交点的纵坐标，不是与 $x$ 轴交点的横坐标；判断象限要同时看 $k$、$b$ 的符号，不能只看 $k$。

5.5 一次函数的简单应用

用待定系数法求一次函数解析式的步骤：

1. 设 $y=kx+b$；
2. 把图象上两个点的坐标代入，得到关于 $k$、$b$ 的方程组；
3. 解方程组，写出解析式；
4. 回到实际问题检验，并写出自变量的取值范围。

例：弹簧原长 10 cm，每挂 1 kg 物体伸长 0.5 cm，总长 $y$（cm）与所挂质量 $x$（kg）的关系为 $y=10+0.5x$，其中 $0\le x\le 20$。挂 6 kg 时，$y=10+0.5\times 6=13$ cm。

例：甲方案收费 $y_1=20x+200$，乙方案收费 $y_2=30x$，$x$ 为使用次数。由 $30x<20x+200$ 得 $x<20$，所以使用次数少于 20 次时乙方案更省；$x=20$ 时两种方案费用相同；$x>20$ 时甲方案更省。

易错：实际问题中不写自变量取值范围，把整条直线都当成图象；方案比较要解不等式，不能只代一个数比较。

本章的三条主线结论

1. 函数是唯一对应：一个自变量的值对应唯一的函数值，解析式、列表、图象三种表示可以互相转换。
2. 一次函数的图象是一条直线：$k$ 决定增减与倾斜方向，$b$ 决定与 $y$ 轴的交点。
3. 待定系数法两步走：设解析式、代两点求 $k$ 与 $b$，再用实际意义确定取值范围。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $y=3x-2$ 中 $k$、$b$ 分别是多少？——$k=3$，$b=-2$。
2. $y=-x+4$ 中 $y$ 随 $x$ 增大怎样变化？——减小。
3. 一次函数图象经过 $(0,-1)$ 与 $(2,3)$，求解析式。——$y=2x-1$。
4. $y=2x-4$ 与 $x$ 轴的交点是什么？——$(2,0)$。
5. 弹簧 $y=10+0.5x$，挂 6 kg 时长度是多少？——13 cm。
6. 甲方案 $y=20x+200$，乙方案 $y=30x$，$x$ 取何值时乙方案更省？——$x<20$。

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、6 题出错，说明待定系数法与方案比较还需再练。

学完本章之后

• 八年级下册《二次根式》：函数值的计算常与根式化简结合。
• 八年级下册《反比例函数》：由一次函数推广到反比例函数，继续研究图象与性质。
• 九年级上册《二次函数》与高中《函数》：用函数模型刻画变化规律，研究单调性与最值。