北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：认识分式 → 分式运算 → 解分式方程。

形如 $\frac{A}{B}$（$A$、$B$ 是整式，且 $B$ 中含有字母）的式子叫做分式。其中 $A$ 是分子，$B$ 是分母。

分式与分数的区别在于分母中是否含有字母。分数 $\frac{2}{3}$ 不是分式，$\frac{2}{x}$ 是分式。分式有意义的条件是分母 $B\ne 0$。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 分式及其基本性质	认识分式，掌握基本性质	约分、通分
2 分式的运算	乘除、加减、乘方	化简与求值
3 分式方程	去分母、解整式方程、验根	分式方程的解与增根

顺序不能颠倒：不掌握因式分解，约分与通分就无从下手；不熟练分式运算，解分式方程时容易在化简环节出错。

1 分式及其基本性质

分式有意义的条件：分母不为零。

分式的值为零的条件：分子为零，且分母不为零。

例如 $\frac{x-2}{x+1}$，当 $x\ne -1$ 时有意义；当 $x=2$ 时值为零。

分式的基本性质： $\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}(C\ne 0).$ 分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变。

约分：把分式的分子分母的公因式约去。约分前先因式分解，约到分子分母没有公因式为止，得到最简分式。

例如 $\frac{6x^{2}y}{9x{y}^2}=\frac{2x}{3y},\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x-2}{x+2}.$

通分：把几个异分母分式化成同分母分式。通分的关键是找最简公分母：系数取最小公倍数，字母取所有字母的最高次幂，因式取所有因式的最高次幂。

例如 $\frac{1}{2x}$ 与 $\frac{1}{3x^2}$ 的最简公分母是 $6x^2$。

2 分式的运算

乘法： $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}.$

除法： $\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}(C\ne 0).$

乘方： ${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n}(n\text{ 为正整数}).$

分式的乘除实质上是约分与因式分解的综合。运算结果要化成最简分式。

加减法：

• 同分母：$\frac{A}{C}\pm \frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}$
• 异分母：先通分，再按同分母法则计算

例如 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}.$

分式化简求值时，要先化简再代入，代入的字母取值不能使原分式的分母为零。

3 分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例如 $\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$ 是分式方程。

解分式方程的一般步骤：

1. 找最简公分母
2. 方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程
3. 解整式方程
4. 验根：把解代入最简公分母，若公分母为零，则是增根，必须舍去
5. 写出原方程的解

例如解 $\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$：

两边同乘 $x(x+1)$，得 $x+1=2x$，解得 $x=1$。代入 $x(x+1)=2\ne 0$，所以 $x=1$ 是原方程的解。

再如解 $\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}$：

两边同乘 $x-2$，得 $x=2$。但 $x=2$ 会使公分母为零，所以 $x=2$ 是增根，原方程无解。这说明去分母后得到的整式方程的解不一定都是原方程的解，必须验根。

分式方程的应用常见于：

• 工程问题：工作总量等于工作效率乘工作时间
• 行程问题：路程等于速度乘时间，注意往返时间
• 销售问题：总价等于单价乘数量
• 浓度问题：溶质质量等于溶液质量乘浓度

列分式方程解应用题，要设未知数、找等量关系、解方程并检验是否符合实际意义。

本章的三条主线结论

1. 分式看分母：有意义的条件是分母不为零，值为零还要求分子为零
2. 运算先因式分解：约分约因式，通分找最简公分母，结果化成最简分式
3. 分式方程必须验根：去分母可能产生增根，使公分母为零的解要舍去

最容易被考的是分式化简求值与分式方程的应用，最容易出错的是漏乘、不验根和约分时约掉加减项。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{1}{x-3}$ 有意义？——$x\ne 3$
2. 当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{x-2}{x+1}$ 的值为零？——$x=2$
3. 化简 $\frac{x^2-1}{x+1}$。——$x-1$
4. 计算 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$。——$\frac{2x+1}{x(x+1)}$
5. 解方程 $\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$。——$x=1$
6. 解分式方程后为什么要验根？——去分母可能产生使公分母为零的增根

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $6$ 题出错，说明增根概念还没真正理解。

学完本章之后

本章把代数运算与方程求解推进到分式层面：

• 第六章《平行四边形》：从代数回到几何，研究平行四边形的性质与判定
• 九年级上册《一元二次方程》：方程类型继续扩展
• 九年级下册《反比例函数》：反比例函数解析式就是分式形式
• 高中《函数》与《导数》：分式函数、定义域与化简仍是基础

把“先看分母、再因式分解、最后检验”的顺序练熟，分式题就不会在细节上失分。