浙教版七年级下册第5章《分式》教材同步学习指南

定义

形如

$\frac{A}{B}(A,B\text{是整式，且 }B\text{中含有字母})$

的式子叫分式。分式有意义的条件是 $B\ne 0$；分式值为 0 的条件是 $A=0$ 且 $B\ne 0$。

分式的基本性质：

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot M}{B\cdot M}=\frac{A÷M}{B÷M}(M\ne 0).$

约分、通分、乘除、加减都以基本性质为基础；分式方程通过去分母化为整式方程，解完必须验根。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 分式的意义	辨认分式，确定有意义与值为 0 的条件	分母不为 0 是前提
5.2 分式的基本性质	约分、通分	最简分式与最简公分母
5.3 分式的乘除	约分后相乘，除法转乘法	先因式分解再约分
5.4 分式的加减	同分母直接加减，异分母通分	结果化为最简分式
5.5 分式方程	去分母求解并验根	会舍增根，能列方程解应用题

5.1 分式的意义

分式的分母中含有字母，所以分母的取值必须使分式有意义。

例：分式 $\frac{x+1}{x-2}$。

• 当 $x\ne 2$ 时，分母 $x-2\ne 0$，分式有意义；
• 当 $x=2$ 时，分母为 0，分式无意义；
• 当 $x+1=0$ 且 $x\ne 2$，即 $x=-1$ 时，分式的值为 0。

验证：$x=-1$ 时，$\frac{-1+1}{-1-2}=\frac{0}{-3}=0$。

易错：分式值为 0 必须同时满足分子为 0、分母不为 0；判断一个式子是不是分式，看分母中是否含有字母，而不是看分子分母谁大。

5.2 分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或同除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。由此得到两种基本变形：

• 约分：把分子分母的公因式约去，化成最简分式；
• 通分：把几个异分母分式化成同分母分式，通常取最简公分母。

例：约分

$\frac{6x^{2}y}{9x{y}^2}=\frac{2x}{3y}(x\ne 0,y\ne 0).$

分子分母的公因式是 $3xy$，约去后得到最简分式。

通分：把 $\frac{1}{2x}$ 与 $\frac{1}{3x^2}$ 通分。最简公分母是 $6x^2$，所以

$\frac{1}{2x}=\frac{3x}{6x^2},\frac{1}{3x^2}=\frac{2}{6x^2}.$

再如 $\frac{x^2-1}{x+1}=x-1$，但必须保留 $x\ne -1$ 的条件；化简后的式子在原分式无意义处仍然不能取值。

易错：约分约去的是公因式，不能把分子分母中的加减项直接约掉；通分时分子要乘与分母相同的倍数，不能只变分母；约分后不要丢掉原分母不为 0 的条件。

5.3 分式的乘除

分式乘法：

$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}.$

分式除法：

$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}(C\ne 0).$

分子分母是多项式时，先因式分解，再约分。

例：计算

$\frac{x^2-1}{x^2+2x}÷\frac{x-1}{x}.$

先分解并转为乘法：

$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)}\cdot \frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x+2}.$

其中 $x\ne 0$，$x\ne -2$，$x\ne 1$。取 $x=2$ 验算：原式 $=\frac{3}{8}÷\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，结果 $=\frac{3}{4}$，一致。

易错：除法要把除式的分子分母颠倒后再乘，不能直接分子乘分子、分母乘分母；约分前先因式分解；除式的值不能为 0，所以除式的分子也不能为 0。

5.4 分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：

$\frac{A}{C}\pm \frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}.$

异分母分式相加减，先通分，再按同分母分式相加减。

例：计算

$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}.$

最简公分母是 $(x-1)(x+1)$，所以

$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x^2-1}.$

取 $x=2$ 验算：左边 $=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，右边 $=\frac{6-1}{4-1}=\frac{5}{3}$，一致。

易错：异分母不能直接把分子分母分别相加；通分后分子要整体乘，注意加括号；分子相减时括号前是负号，去括号要变号；最后结果要化为最简分式。

5.5 分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程。解分式方程的一般步骤：

1. 确定最简公分母；
2. 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；
3. 解整式方程；
4. 把解代入最简公分母检验，公分母为 0 的是增根，必须舍去；
5. 写出原方程的解。

例：解方程

$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x}.$

两边乘 $x(x-1)$，得

$2x=3(x-1)⟹2x=3x-3⟹x=3.$

检验：$x(x-1)=3\times 2=6\ne 0$，所以 $x=3$ 是原方程的解。

增根的例子：解 $\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$。两边乘 $x-2$，得

$1+3(x-2)=x-1⟹3x-5=x-1⟹x=2.$

但 $x=2$ 使分母为 0，是增根，所以原方程无解。

实际应用：甲、乙两地相距 120 km，动车的速度是普快的 1.5 倍，动车比普快少用 1 h。设普快速度为 $x$ km/h，则动车速度为 $1.5x$ km/h。由时间关系

$\frac{120}{x}-\frac{120}{1.5x}=1.$

化简得 $\frac{120}{x}-\frac{80}{x}=1$，即 $\frac{40}{x}=1$，所以 $x=40$，$1.5x=60$。

检验：普快用时 $120÷40=3$ h，动车用时 $120÷60=2$ h，相差 1 h，符合题意。

易错：去分母时不含分母的项也要乘，例如上面的 3；解完整式方程必须验根；增根不是原方程的解；应用题中速度、时间要对应清楚。

本章的三条主线结论

1. 分母不为 0 是前提：判断分式有意义、值为 0、约分、去分母，都要带着这个条件。
2. 分式运算的本质是约分与通分：分子分母是多项式时，先因式分解再运算。
3. 分式方程必须验根：去分母可能产生增根，使最简公分母为 0 的解要舍去。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 分式 $\frac{x-1}{x+3}$ 有意义的条件是什么？——$x\ne -3$
2. 约分 $\frac{x^2-4}{x-2}$。——$x+2$（$x\ne 2$）
3. 计算 $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}$。——$\frac{3}{2x}$
4. 计算 $\frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{x}{x-1}$。——$x+1$（$x\ne 0$，$x\ne 1$）
5. 解方程 $\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}$。——$x=-4$
6. 解方程 $\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$。——$x=5$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 5、6 题出错，说明去分母与验根还需再练，要把检验写成步骤的一部分。

学完本章之后

分式把运算从整式推广到“分母含字母”的式子：

• 八年级下册《反比例函数》：$y=\frac{k}{x}$ 就是分式形式的函数，图象与分式的取值限制有关；
• 高中《不等式》：解分式不等式要先移项、通分，再判断符号，前提仍是分母不为 0；
• 物理、化学中的比例关系：速度、密度、浓度常用分式表示，变形与验算都沿用本章方法。

把“先定分母条件、再因式分解、最后验根”作为固定流程，分式题就不会在增根和符号上失分。