北师大版八年级下册第四章《因式分解》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：理解分解 → 提公因式 → 套公式 → 分解彻底。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

因式分解与整式乘法互为逆变形： $(a+b)(a-b)\stackrel{\text{整式乘法}}{\to }{a}^2-b^2\stackrel{\text{因式分解}}{\to }(a+b)(a-b).$

因式分解的结果必须是乘积形式，每个因式都必须是整式，并且要分解到不能再分解为止。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 因式分解	理解分解的意义与要求	和差化积、与整式乘法互逆
2 提公因式法	找公因式并提取	系数、字母、整体三看
3 公式法	套用平方差与完全平方公式	分解彻底

顺序不能颠倒：不理解“化成乘积”，就容易把变形方向做反；不会提公因式，套公式时往往漏掉共同的因式。

1 因式分解

判断一个变形是不是因式分解，看三点：

• 结果是不是几个整式的积
• 每个因式是不是整式
• 分解是否彻底

例如：

• $x^2-4=(x+2)(x-2)$ 是因式分解
• $x^2-4=x(x-\frac{4}{x})$ 不是，因为 $\frac{4}{x}$ 不是整式
• $(x+2)(x-2)=x^2-4$ 不是因式分解，而是整式乘法
• $x^2-4=(x+2)(x-2)=(x+2)(x-2)$ 没有继续分解，但结果已经彻底

因式分解的结果要写成乘积形式，不能保留未合并的和差。

2 提公因式法

多项式各项都含有的公共因式，叫做公因式。把公因式提到括号外面，这种分解方法叫做提公因式法。

找公因式分三步：

1. 系数：取各项系数的最大公约数
2. 字母：取各项都含有的字母
3. 指数：相同字母取最低次数

例如 $6x^{2}y-9x{y}^2$ 的公因式是 $3xy$，所以 $6x^{2}y-9x{y}^2=3xy(2x-3y).$

提公因式时要注意：

• 提完后括号内的项数与原多项式项数相同
• 某一项恰好被全部提出时，括号内要写 $1$，不能漏掉
• 首项为负时，通常提出负号，括号内各项都要变号

例如 $-4a^2+8ab=-4a(a-2b).$

公因式也可以是多项式整体，例如 $a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b).$

3 公式法

把乘法公式反过来，就得到因式分解的公式。

平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b).$ 条件是两项都是平方，且符号相反。

例如： $x^2-9=(x+3)(x-3),4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n).$

完全平方公式： $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2,a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2.$ 条件是三项，其中两项是平方，另一项是这两个平方项底数乘积的 $2$ 倍。

例如： $x^2+6x+9=(x+3{)}^2,4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b{)}^2.$

注意 $a^2+b^2$ 不能用完全平方公式分解；$a^2-ab+b^2$ 也不是完全平方式，因为中间项不是 $2ab$。

因式分解的一般步骤：

1. 一提：先看有没有公因式，有就先提
2. 二套：观察剩余部分是否符合平方差或完全平方公式
3. 三查：检查每个因式能否继续分解，结果是否彻底

例如： $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x+2)(x-2).$ 先提公因式 $2x$，再用平方差公式，最后检查是否彻底。

再如： $3a^2+6a+3=3(a^2+2a+1)=3(a+1{)}^2.$

本章的三条主线结论

1. 因式分解是恒等变形：把和差化成乘积，与整式乘法方向相反
2. 先提公因式：系数看最大公约数，字母看共同字母与最低次数
3. 再套公式并检查彻底性：平方差两项、完全平方三项，分解到不能再分解

最容易被考的是提公因式与公式法的综合，最容易出错的是漏项、符号和分解不彻底。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $x^2-16$ 因式分解的结果是什么？——$(x+4)(x-4)$
2. $x^2+8x+16$ 因式分解的结果是什么？——$(x+4{)}^2$
3. $3x^2-6x$ 因式分解的结果是什么？——$3x(x-2)$
4. $-2a^2+4ab$ 提公因式后是什么？——$-2a(a-2b)$
5. $x^4-1$ 因式分解的结果是什么？——$(x^2+1)(x+1)(x-1)$
6. $a^2+b^2$ 能用平方差公式分解吗？——不能，两项符号相同

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $5$ 题出错，说明“分解彻底”的意识还不够。

学完本章之后

本章是代数变形的重要工具：

• 第五章《分式与分式方程》：约分、通分都要先因式分解
• 八年级下册《分式》：分式值为零、增根判断常需要分解因式
• 九年级上册《一元二次方程》：因式分解法是解一元二次方程的重要方法
• 高中《不等式》与《函数》：因式分解用于判断符号、求零点

把“一提二套三查”练成固定顺序，因式分解就不会半途而废。