北师大版八年级下册第六章《平行四边形》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：平行四边形的性质与判定 → 三角形中位线 → 多边形内角和与外角和。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

本章用全等三角形和平行线的知识，系统研究平行四边形的边、角、对角线，再把结论用于三角形中位线，最后推广到一般多边形。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 平行四边形的性质与判定	研究边、角、对角线	性质定理与判定定理
2 三角形的中位线	用平行四边形证明中位线定理	平行且等于第三边一半
3 多边形的内角和与外角和	把三角形内角和推广到多边形	$(n-2)\cdot 180^{\circ }$、外角和 $360^{\circ }$

顺序不能颠倒：不掌握平行四边形的性质与判定，就无法证明三角形中位线定理；不理解三角形内角和，就推不出多边形内角和公式。

1 平行四边形的性质与判定

性质：

• 平行四边形的两组对边分别平行
• 平行四边形的两组对边分别相等
• 平行四边形的两组对角分别相等
• 平行四边形的邻角互补
• 平行四边形的对角线互相平分

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

判定：

• 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
• 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
• 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
• 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

注意：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。例如等腰梯形就是一组对边平行、另一组对边相等，但它不是平行四边形。

平行四边形的面积等于底乘高。计算时要注意底与高的对应关系。

2 三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形有三条中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

证明思路：延长中位线，构造平行四边形，利用对边平行且相等完成证明。

三角形中位线与三角形中线不同：

• 中位线连接两边中点
• 中线连接一个顶点与对边的中点

中位线定理常用于：

• 求线段长度：中位线等于第三边的一半
• 证明平行：中位线平行于第三边
• 构造平行四边形：连接多个中点，得到平行关系

例如在 $△ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则 $DE\parallel BC$，且 $DE=\frac{1}{2}BC$。

3 多边形的内角和与外角和

多边形内角和定理：$n$ 边形的内角和等于 $(n-2)\cdot 180^{\circ }(n\ge 3).$

推导方法：从一个顶点出发，把 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形，每个三角形的内角和为 $180^{\circ }$。

多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 $360^{\circ }$。

外角和与边数无关。正 $n$ 边形的每个外角为 $\frac{360^{\circ }}{n}$，每个内角为 $180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$。

例如：

• 三角形内角和 $180^{\circ }$，外角和 $360^{\circ }$
• 四边形内角和 $360^{\circ }$，外角和 $360^{\circ }$
• 五边形内角和 $540^{\circ }$，外角和 $360^{\circ }$
• 正六边形每个内角 $120^{\circ }$，每个外角 $60^{\circ }$

已知内角和求边数：由 $(n-2)\cdot 180^{\circ }=$ 内角和，解出 $n$。已知每个外角求边数：由 $\frac{360^{\circ }}{n}=$ 外角，解出 $n$。

本章的三条主线结论

1. 平行四边形看边、角、对角线：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
2. 判定与性质互逆：由平行四边形得性质，由边角对角线关系判定平行四边形
3. 中位线与多边形公式：中位线平行且等于第三边一半，多边形内角和 $(n-2)\cdot 180^{\circ }$、外角和 $360^{\circ }$

最容易被考的是平行四边形的判定、中位线定理和多边形内角和，最容易出错的是判定条件混淆与中位线、中线混淆。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 平行四边形的对角线有什么性质？——互相平分
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？——是
3. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？——不一定，等腰梯形是反例
4. 三角形中位线等于第三边的多少？——一半
5. 五边形的内角和是多少？——$540^{\circ }$
6. 任意多边形的外角和是多少？——$360^{\circ }$

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $3$ 题出错，说明平行四边形的判定条件还没记准。

学完本章之后

本章完成了四边形专题的基础部分：

• 九年级上册《特殊平行四边形》：矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形
• 九年级上册《图形的相似》：中位线定理与相似三角形有联系
• 九年级上册《圆》：圆内接四边形、正多边形与圆结合
• 高中《立体几何》：平行四边形是空间平行关系的基础图形

把“性质与判定成对记忆、证明回到全等与平行线”练成习惯，四边形题就有了稳定的推理路径。