苏科版八年级下册第10章《分式》教材同步学习指南

定义

形如 $\frac{A}{B}$ 的式子，如果 $A$、$B$ 都是整式，且 $B$ 中含有字母，那么叫分式。其中 $A$ 叫分子，$B$ 叫分母。

分式有意义的条件是分母不为 0。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
10.1 分式的概念	判断分式，确定字母取值范围	分母不为 0
10.2 分式的基本性质	约分、通分	最简分式、最简公分母
10.3 分式的加减	同分母、异分母加减	通分后合并分子
10.4 分式的乘除	约分后相乘、除法转乘法	结果化成最简分式
10.5 分式方程	去分母、解整式方程、验根	会舍增根，会列方程解应用题

10.1 分式的概念

判断一个式子是不是分式，看分母中是否含有字母。例如 $\frac{x+1}{2}$ 的分母是常数，是整式；$\frac{2}{x+1}$ 的分母含有字母，是分式。

分式有意义的条件：

$\frac{A}{B}\text{有意义}⟺B\ne 0.$

分式的值为 0 的条件： $A=0\text{且}B\ne 0.$

例：分式 $\frac{x-1}{x+2}$ 中，$x\ne -2$；当 $x=1$ 时，分子为 0 且分母不为 0，分式的值为 0。

10.2 分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或同除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变： $\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}(C\ne 0).$

约分：把分子分母的公因式约去，化成最简分式。约分的关键是先因式分解。

例： $\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2{)}^2}=\frac{x+2}{x-2}(x\ne 2).$

通分：把几个异分母分式化成同分母分式，通常取最简公分母。最简公分母由各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂组成。

10.3 分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减： $\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}.$

异分母分式相加减，先通分，再按同分母法则计算： $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}.$

例： $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1+x-1}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}.$

通分后分子是多项式时，要加括号再相减，避免符号错误。

10.4 分式的乘除

乘法： $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

除法： $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}(c\ne 0).$

分式的乘方： ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}(n\text{为正整数}).$

运算时先约分再相乘，可以减少计算量。结果要化成最简分式。

10.5 分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程。解分式方程的一般步骤：

1. 找最简公分母；
2. 方程两边同乘最简公分母，去分母；
3. 解得到的整式方程；
4. 验根：把根代入最简公分母，若为 0 则是增根，必须舍去；
5. 写出原方程的解。

例：解方程 $\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}.$ 最简公分母是 $(x-1)(x+1)$，去分母得 $x+1=2,$ 所以 $x=1$。代入最简公分母，$(1-1)(1+1)=0$，所以 $x=1$ 是增根，原方程无解。

例：某工程甲队单独做 $x$ 天完成，乙队单独做比甲队多 3 天完成。两队合作 2 天完成全部工程，则 $2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1.$ 解这个方程并检验，即可求出甲队单独完成所需天数。

本章的三条主线结论

1. 分母不为 0 是分式的生命线：判断有意义、求值为 0、验根都围绕它
2. 基本性质是约分和通分的共同依据：同乘同除同一个非零整式
3. 解分式方程必须验根：去分母可能引入增根，验根不是可选项

自测

先自己完成，再看答案：

1. 分式 $\frac{3}{x-4}$ 有意义的条件是什么？——$x\ne 4$
2. 分式 $\frac{x-2}{x+1}$ 的值为 0 时，$x$ 等于多少？——$x=2$
3. 约分 $\frac{x^2-9}{x+3}$ 的结果是什么？——$x-3$（$x\ne -3$）
4. 计算 $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}$ 的结果是什么？——$\frac{3}{2x}$
5. 解分式方程后为什么要验根？——防止增根
6. 分式方程 $\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}$ 有解吗？——无解，$x=1$ 是增根

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、6 题出错，说明因式分解与验根还需再练。

学完本章之后

本章把分式运算与方程连接起来：

• 九年级上册《反比例函数》：$y=\frac{k}{x}$ 是最基本的分式函数
• 九年级下册《锐角三角函数》：比值形式与分式运算密切相关
• 高中《函数与导数》：分式函数、渐近线都会用到本章的变形能力

把“先看分母—再定范围—运算后验根”做成习惯，分式题就能少丢分。