浙教版九年级上册第1章《二次函数》教材同步学习指南

定义

形如 $y=a{x}^2+bx+c(a,b,c\text{为常数},a\ne 0)$ 的函数叫二次函数，其中 $x$ 是自变量。

配方得 $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a},$ 所以图象是一条抛物线，对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点为 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right).$ $a$ 的符号决定开口方向：$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 二次函数的意义	辨认二次函数，化为一般式	会判断 $a\ne 0$ 并确定 $a$、$b$、$c$
1.2 二次函数的图象	由 $y=a{x}^2$ 出发平移画图	掌握顶点、对称轴与平移规律
1.3 二次函数的性质	由 $a$、$b$、$c$ 读开口、增减性与最值	会用配方法求顶点与最值
1.4 二次函数与一元二次方程的关系	用判别式判断交点个数	会把交点问题转化为方程问题
1.5 二次函数的应用	建立函数模型求最值	解决面积、利润等实际问题

1.1 二次函数的意义

判断一个函数是不是二次函数，看三点：右边是整式；化简后自变量的最高次数是 2；二次项系数不为 0。$y=2x^2$、$y=-x^2+3x$、$y=x^2+1$ 都是二次函数，它们的 $b$、$c$ 可以等于 0，但 $a$ 不能等于 0。

例：把 $y=2x(x-3)+1$ 化为一般式，得 $y=2x^2-6x+1,$ 所以 $a=2$，$b=-6$，$c=1$。

又如 $y=(m-1)x^2+3x$ 是二次函数，则必须 $m-1\ne 0$，即 $m\ne 1$。

易错：$y=x^2+\frac{1}{x}$ 的右边不是整式，不是二次函数；$y=(x+1{)}^2-x^2$ 化简后是 $2x+1$，最高次为 1，也不是二次函数。

1.2 二次函数的图象

$y=a{x}^2$ 的图象是以原点为顶点、$y$ 轴为对称轴的抛物线。$a>0$ 时开口向上，原点是最低点；$a<0$ 时开口向下，原点是最高点。$|a|$ 越大，开口越小。

把 $y=a{x}^2$ 的图象左右、上下平移，就得到 $y=a(x-h{)}^2+k$ 的图象：$h>0$ 向右平移 $h$ 个单位，$h<0$ 向左平移 $|h|$ 个单位；$k>0$ 向上平移 $k$ 个单位，$k<0$ 向下平移 $|k|$ 个单位，即“左加右减、上加下减”。

例：$y=\frac{1}{2}(x+2{)}^2-3$ 的图象，可看作把 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 的图象向左平移 2 个单位、再向下平移 3 个单位得到，顶点为 $(-2,-3)$。

易错：括号内是 $x+2$，对应 $h=-2$，是向左平移，不要看到加号就向右。

1.3 二次函数的性质

把一般式配方成顶点式后，性质一目了然：

$a$ 的符号	开口方向	对称轴	增减性	最值
$a>0$	向上	直线 $x=-\frac{b}{2a}$	对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小，右侧增大	顶点处取最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$
$a<0$	向下	直线 $x=-\frac{b}{2a}$	对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，右侧减小	顶点处取最大值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$

例：$y=-x^2+4x-1=-(x-2{)}^2+3$，开口向下，对称轴为直线 $x=2$，顶点为 $(2,3)$。当 $x<2$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大，当 $x>2$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而减小，最大值为 3。

易错：增减性必须分段说，不能笼统说“$a<0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而减小”，因为对称轴两侧的单调性相反。

1.4 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的实数根。令 $\Delta =b^2-4ac$：

• $\Delta >0$：抛物线与 $x$ 轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；
• $\Delta =0$：抛物线与 $x$ 轴只有一个交点（顶点在 $x$ 轴上），方程有两个相等的实数根；
• $\Delta <0$：抛物线与 $x$ 轴没有交点，方程没有实数根。

例：$y=x^2-2x-3$ 中 $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times (-3)=16>0$，且 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，所以图象与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$。

易错：与 $y$ 轴的交点只有一个，坐标是 $(0,c)$，不要和与 $x$ 轴的交点混在一起数。

1.5 二次函数的应用

用二次函数解决最值问题，一般按四步走：

1. 设自变量，用含自变量的式子表示要求的量；
2. 根据几何关系或数量关系列出二次函数；
3. 结合实际意义写出自变量的取值范围；
4. 配方求顶点，判断顶点是否在范围内，必要时比较端点值。

例：用长 20 m 的篱笆靠墙围一个矩形菜园，墙足够长。设垂直于墙的一边长为 $x$ m，则另一边长为 $(20-2x)$ m，面积 $S=x(20-2x)=-2(x-5{)}^2+50(0<x<10).$ 当 $x=5$ 时 $S$ 取最大值 50，此时另一边长为 10 m，最大面积为 50 m²。验算：$2\times 5+10=20$，符合篱笆总长。

易错：若不写取值范围，可能把 $x=12$ 之类的值代进去，而那时另一边长为负数，不符合实际。

本章的三条主线结论

1. 三个参数定一条抛物线：$a$ 定开口，$-\frac{b}{2a}$ 定对称轴，顶点定最值，三者合起来确定图象。
2. 函数与方程统一：抛物线与 $x$ 轴的交点问题，就是一元二次方程的根的问题，判别式决定交点个数。
3. 最值先看范围：顶点只在自变量取值范围内才能直接取，否则比较端点。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $y=(k-2)x^2+1$ 是二次函数，求 $k$ 的取值范围。——$k\ne 2$
2. $y=3(x+1{)}^2-4$ 的顶点坐标和对称轴是什么？——顶点 $(-1,-4)$，对称轴为直线 $x=-1$
3. $y=-2x^2+8x$ 的最大值是多少？——$y=-2(x-2{)}^2+8$，最大值为 8
4. $y=x^2-6x+9$ 的图象与 $x$ 轴有几个交点？——$\Delta =36-36=0$，有 1 个交点
5. 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 过 $(0,3)$ 和 $(1,0)$，求它的解析式。——$c=3$，$1+b+3=0$ 得 $b=-4$，即 $y=x^2-4x+3$
6. 求 $y=x^2-2x+3$ 在 $0\le x\le 3$ 上的最大值和最小值。——顶点 $(1,2)$ 在范围内，最小值为 2；端点处 $x=3$ 时 $y=6$，最大值为 6

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、6 题出错，说明配方与自变量取值范围还需再练。

学完本章之后

本章是初中函数学习的综合站，往后还有这些衔接：

• 九年级下册第1章《解直角三角形》：解直角三角形中的最值、距离计算常要配合二次函数
• 高中《函数》与《一元二次函数、方程和不等式》：从图象视角系统研究单调性、最值与恒成立问题
• 中考压轴题：二次函数与几何图形结合的综合题，核心仍是配方、对称轴与范围讨论

把“先配方定顶点—再画对称轴—最后看范围”做成固定顺序，二次函数的最值题就不会漏掉端点。