苏科版九年级下册第6章《二次函数》教材同步学习指南

定义

形如 $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0,a、b、c\text{为常数})$ 的函数叫二次函数。

二次函数的图象是一条抛物线。它的顶点式是 $y=a(x-h{)}^2+k,$ 其中 $(h,k)$ 是顶点坐标，直线 $x=h$ 是对称轴。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
6.1 二次函数的概念	辨认二次函数，确定系数	$a\ne 0$
6.2 二次函数的图象与性质	画抛物线，读开口、顶点、对称轴	掌握 $a$、$b$、$c$ 的作用
6.3 确定二次函数的表达式	用待定系数法求解析式	一般式、顶点式、交点式
6.4 用二次函数解决问题	建模求最值	面积、利润、抛物线运动
6.5 二次函数与一元二次方程	用交点理解方程的根	判别式与交点个数对应

6.1 二次函数的概念

判断二次函数看两点：

1. 化简后自变量的最高次数为 2；
2. 二次项系数 $a\ne 0$。

例如 $y=2x^2-3x+1$ 是二次函数；$y=x^2+\frac{1}{x}$ 不是，因为含分式项；$y=(x+1{)}^2-x^2$ 化简后为 $y=2x+1$，是一次函数，不是二次函数。

6.2 二次函数的图象与性质

抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 的开口方向由 $a$ 决定：

$a$ 的符号	开口方向	最值
$a>0$	向上	顶点处取得最小值
$a<0$	向下	顶点处取得最大值

对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}.$ 顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right).$

把一般式配方： $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.$

例： $y=x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1,$ 所以开口向上，顶点为 $(2,-1)$，对称轴为直线 $x=2$，最小值为 $-1$。

增减性：

• $a>0$ 时，在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大；
• $a<0$ 时，在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小。

6.3 确定二次函数的表达式

常用三种形式：

已知条件	选用形式
任意三点	一般式 $y=a{x}^2+bx+c$
顶点和另一点	顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$
与 $x$ 轴的两个交点和另一点	交点式 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$

例：已知抛物线顶点为 $(1,2)$，且经过点 $(0,4)$，设 $y=a(x-1{)}^2+2.$ 代入 $(0,4)$ 得 $4=a+2$，所以 $a=2$，解析式为 $y=2(x-1{)}^2+2.$

6.4 用二次函数解决问题

用二次函数解决实际问题的步骤：

1. 设自变量，建立函数关系；
2. 确定自变量的取值范围；
3. 配方或利用对称轴求最值；
4. 检验结果是否符合实际意义。

例：用长为 20 米的篱笆围一个矩形菜园，设一边长为 $x$ 米，则另一边长为 $10-x$ 米，面积 $S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5{)}^2+25.$ 当 $x=5$ 时，面积最大为 25 平方米，此时菜园为正方形。

求最值时一定要看自变量的取值范围。如果顶点不在取值范围内，最大值或最小值可能在端点处取得。

6.5 二次函数与一元二次方程

抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根。

判别式	抛物线与 $x$ 轴的交点	方程的根
$\Delta >0$	2 个	两个不相等的实数根
$\Delta =0$	1 个	两个相等的实数根
$\Delta <0$	0 个	没有实数根

例：$y=x^2-4x+3$ 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$、$(3,0)$，所以方程 $x^2-4x+3=0$ 的根为 $x_1=1$，$x_2=3$。

本章的三条主线结论

1. 开口看 $a$，位置看顶点：$a$ 定开口方向，顶点式定中心位置
2. 最值先看范围：顶点不一定在可行区间内，端点和顶点都要比较
3. 交点就是根：抛物线与 $x$ 轴的交点横坐标对应一元二次方程的根

自测

先自己完成，再看答案：

1. $y=3x^2-2x+1$ 是二次函数吗？——是
2. $y=x^2-6x+5$ 的对称轴是什么？——直线 $x=3$
3. $y=x^2-6x+5$ 的顶点坐标是什么？——$(3,-4)$
4. $y=-x^2+4$ 的最大值是多少？——4
5. $y=x^2-2x+1$ 与 $x$ 轴有几个交点？——1 个
6. 用 20 米篱笆围矩形，最大面积是多少？——25 平方米

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、5 题出错，说明配方与判别式还需再练。

学完本章之后

本章是初中函数的综合收口：

• 高中《函数》：单调性、最值、零点会在二次函数基础上推广
• 高中《导数》：用导数研究函数单调性与极值
• 实际问题：优化问题、抛物线运动都依赖二次函数模型

把“先配方定顶点—再看开口—最后结合范围求最值”做成固定流程，二次函数题就有了稳定路径。