北师大版九年级下册第三章《圆》教材同步学习指南

定义

平面上到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形叫圆，记作 $\odot O$，$O$ 为圆心，$r$ 为半径。连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫弧；顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫圆周角。

圆是初中平面几何的收束章节：它把全等、等腰、直角、相似、勾股等工具集中到同一个图形上，再用「圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较」这一条统一线索串起点、直线与圆的位置关系。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 圆的有关性质	认识弦、弧、圆心角、圆周角	垂径定理、圆心角与圆周角定理
3.2 确定圆的条件	由三点定圆、作外接圆	不在同一直线上的三点确定一个圆
3.3 直线和圆的位置关系	用 $d$ 与 $r$ 分类	相交、相切、相离；切线判定与性质
3.4 圆内接正多边形	把圆 $n$ 等分	中心角 $\frac{360^{\circ }}{n}$，边心距
3.5 弧长及扇形的面积	由圆心角比例计算	$l=\frac{n\pi R}{180}$，$S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{1}{2}lR$

顺序有内在依赖：3.1 的垂径定理与圆周角定理是后面所有计算的基础；3.2 的外心与 3.3 的内心要对照记忆；3.4、3.5 则是把圆的性质用于正多边形和曲线长度的度量。

3.1 圆的有关性质

圆既是轴对称图形（任意一条直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（对称中心为圆心）。由此得到垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。括号里的「不是直径」不可省略。设半径为 $r$、弦长为 $a$、弦心距为 $d$，则

$r^2=d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

圆中绝大多数长度计算，都是把这条关系与勾股定理配合使用。

圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之，相等的弧或相等的弦所对的圆心角也相等。三者「知一推二」，但必须强调「同圆或等圆」这一前提。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。常用推论有三条：

1. 同弧或等弧所对的圆周角相等
2. 直径所对的圆周角是直角；$90^{\circ }$ 的圆周角所对的弦是直径
3. 圆内接四边形的对角互补

注意推论 1 的范围是「同弧或等弧」，换成「同弦」就不成立：弦两侧的两个圆周角互补。

3.2 确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆。作法是作任意两边的垂直平分线，交点即圆心，到三点的距离相等。这个圆叫三角形的外接圆，圆心叫外心。

外心的位置随三角形形状变化：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在外部。这与 3.3 中内心恒在三角形内部形成对照。

3.3 直线和圆的位置关系

设圆心到直线的距离为 $d$，半径为 $r$：

位置关系	公共点个数	$d$ 与 $r$ 的关系
相交	2	$d<r$
相切	1	$d=r$
相离	0	$d>r$

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。判定与性质互为逆命题，证明题中常配合使用。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。把外点、圆心、两个切点连起来，可得到一对全等直角三角形，这是证明线段相等与角相等的常用模型。

三角形的内切圆与三条边都相切，圆心叫内心，是三条角平分线的交点，恒在三角形内部。直角三角形两直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，则内切圆半径

$r=\frac{a+b-c}{2}$

3.4 圆内接正多边形

把圆分成 $n$ 等份，依次连接各分点，得到圆内接正 $n$ 边形。正 $n$ 边形的中心角为 $\frac{360^{\circ }}{n}$，边心距为 $R\cos \frac{180^{\circ }}{n}$（$R$ 为外接圆半径）。

两个常用特例：正六边形的边长等于半径；正六边形的边心距为 $\frac{\sqrt{3}}{2}R$。正多边形的半径、边心距、半边构成直角三角形，是计算边长与面积的通用入口。

3.5 弧长及扇形的面积

半径为 $R$、圆心角为 $n^{\circ }$ 的弧长

$l=\frac{n\pi R}{180}$

扇形面积

$S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{1}{2}lR$

两个公式都是「圆心角占 $360^{\circ }$ 的比例」乘以整圆周长或面积。第二个等号把扇形面积与弧长直接挂钩，已知弧长时更省计算。

本章的三条主线结论

1. 垂径定理把圆化为直角三角形：$r^2=d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ 是长度计算的总公式
2. 圆周角与圆心角是二倍关系：配合「直径所对圆周角为直角」，角度问题基本可解
3. 位置关系由 $d$ 与 $r$ 决定：点、直线、切线判定统一到距离比较这一条线索

第 1 条支撑计算题，第 2 条支撑证明题，第 3 条是切线类综合题的总开关。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 半径为 10，弦长为 16，求弦心距。——$\sqrt{10^2-8^2}=6$
2. 一条弧所对的圆心角为 $80^{\circ }$，同弧所对的圆周角是多少？——$40^{\circ }$
3. 若 $AB$ 是直径，点 $C$ 在圆上，$\angle ACB$ 是多少度？——$90^{\circ }$
4. 直角三角形两直角边为 5、12，斜边为 13，求内切圆半径。——$\frac{5+12-13}{2}=2$
5. 正六边形的中心角是多少度？——$\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$
6. 半径 $R=6$、圆心角 $60^{\circ }$ 的弧长与扇形面积各是多少？——弧长 $2\pi$，面积 $6\pi$

答对 5 题以上过关；第 1、2 题出错说明垂径定理或圆周角定理还需回到图形重推。

学完本章之后

本章是初中平面几何的收官，把此前所有工具汇到圆上：

• 圆与相似：弦切角、切割线、相交弦的结论都可由相似三角形推出，是九上《图形的相似》的直接延伸
• 圆与三角函数：正多边形的边心距、弦长计算会用到锐角三角函数
• 高中解析几何：圆将用方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 重新刻画，位置关系仍由距离与半径比较决定

把「连半径、作弦心距、构造直角三角形」做成条件反射，圆的计算与证明就有了统一入口。