北师大版七年级下册第三章《概率初步》教材同步学习指南

学习顺序

顺序不能颠倒：不先分清事件类型，就不知道概率该是 $0$、$1$ 还是介于两者之间；不理解频率的稳定性，就不知道公式为什么合理。

3.1 感受可能性

在一定条件下，事件分为三类：

• 必然事件：一定会发生，概率为 $1$
• 不可能事件：一定不会发生，概率为 $0$
• 随机事件：可能发生也可能不发生，概率介于 $0$ 与 $1$ 之间

必然事件与不可能事件统称确定事件。

随机事件发生的可能性有大小。例如袋中有 $9$ 个红球、$1$ 个白球，任意摸出一个球，摸到红球的可能性比摸到白球大。可能性大小可以用语言描述，也可以用数值刻画，后者就是概率。

3.2 频率的稳定性

在相同条件下重复进行试验，事件发生的次数叫频数，频数与试验总次数的比值叫频率： $\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{试验次数}}.$

例如掷一枚质地均匀的硬币 $100$ 次，正面朝上 $48$ 次，则正面朝上的频率为 $0.48$。

大量重复试验后，频率会在某个常数附近摆动，并随着试验次数的增加趋于稳定，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。这就是“用频率估计概率”。

频率是试验得到的，会波动；概率是事件本身的属性，是确定的。试验次数越多，频率通常越接近概率，但不能保证每次都相等。

3.3 等可能事件的概率

如果一次试验中，所有可能的结果有 $n$ 个，并且每个结果出现的可能性相同，那么事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{m}{n},$ 其中 $m$ 是事件 $A$ 包含的结果数。

例如掷一枚质地均匀的骰子，共有 $6$ 个等可能结果，掷出偶数点包含 $2,4,6$ 三个结果，所以 $P(\text{偶数点})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

用列举法求概率时，要做到不重复、不遗漏。较复杂的问题可以列表或画树状图，把全部等可能结果逐一列出。

有些问题中的“等可能”体现在面积上，例如转盘被分成面积相等的若干扇形，指针落在每个扇形的可能性相同，此时可以用面积比计算概率。

游戏的公平性：若双方获胜的概率相等，游戏公平；否则不公平。判断公平性，本质是比较两个事件的概率。

本章的三条主线结论

1. 事件分三类：必然事件概率为 $1$，不可能事件概率为 $0$，随机事件概率在 $0$ 与 $1$ 之间
2. 频率估计概率：大量重复试验中频率趋于稳定，稳定值可作为概率的估计
3. 等可能事件用公式：$P(A)=\frac{m}{n}$，前提是全部结果等可能且列举不重不漏

最容易被考的是用列举法求概率，最容易混淆的是频率与概率。

自测

先自己判断，再看答案：

1. “太阳从东方升起”是什么事件？——必然事件，概率为 $1$
2. “掷一枚骰子得到 $7$ 点”是什么事件？——不可能事件，概率为 $0$
3. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？——$\frac{1}{2}$
4. 掷一枚质地均匀的骰子，得到 $3$ 的倍数的概率是多少？——$3$ 的倍数有 $3,6$，概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
5. 某事件发生频率为 $0.3$，能说它的概率一定是 $0.3$ 吗？——不能，频率只是估计值
6. 袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，摸到红球的概率是多少？——$\frac{3}{5}$

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 5 题出错，说明频率与概率的关系还没理清。

学完本章之后

本章是概率的入门：

• 第四章《三角形》：本章结束后回到几何，继续研究图形性质与全等
• 九年级上册《概率的进一步认识》：用列表法和树状图求两步试验的概率，用频率估计概率更系统
• 高中《概率》：古典概型、条件概率与独立性，本章的等可能模型是源头
• 统计：用样本估计总体与用频率估计概率，背后是同一种“部分推断整体”的思想

把“先判断是否等可能，再列举全部结果，最后用公式”练成固定流程，概率题就不会靠感觉做。