频数与频率：次数与占比

定义

把一组数据分成若干组后：

频数：落在某一组内的数据个数，记作整数。例如 40 名学生中身高在 160–165 厘米的有 12 人，这一组的频数就是 12。

频率：该组频数与数据总数的比值：

$\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{数据总数}}$

上例中这一组的频率为

$\frac{12}{40}=0.3=30\%$

频率是一个比值，不带单位；频数是计数，可以带「人」「个」「次」等单位。

算理：为什么频率之和等于 1

设数据总数为 $n$，分成 $k$ 组，各组的频数分别为 $f_1,f_2,\dots ,f_k$。因为每个数据恰好落入一组，所以

$f_1+f_2+\cdots +f_k=n$

各组频率为 $\frac{f_i}{n}$，相加得

$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\cdots +\frac{f_k}{n}=\frac{f_1+f_2+\cdots +f_k}{n}=\frac{n}{n}=1$

这就是「频数之和等于总数、频率之和等于 1」的来历，也是检查统计表有没有漏项、重复的常用方法。

典例精析

例 1 某班 40 名学生身高的频数分布如下：

身高分组（厘米）	145–150	150–155	155–160	160–165	165–170	170–175
频数	3	6	10	12	7	2
频率	0.075	0.15	0.25	0.3	0.175	0.05

频数合计：$3+6+10+12+7+2=40$，等于总人数。

频率合计：$0.075+0.15+0.25+0.3+0.175+0.05=1$。

身高在 160–165 厘米这一组的频数是 12，频率是 0.3，即 30%。

例 2 抛一枚硬币 100 次，正面朝上 52 次。

正面朝上的频数是 52，频率是 $\frac{52}{100}=0.52$。

反面朝上的频数是 48，频率是 0.48。

两个频率之和为 1。这里的 0.52 是这次试验的频率，不能说硬币正面朝上的概率就是 0.52；大量重复试验后，频率会稳定在 0.5 附近。

例 3 甲组 20 人中有 6 人近视，乙组 50 人中有 12 人近视，哪组近视情况更严重？

甲组近视频率：$\frac{6}{20}=0.3$。

乙组近视频率：$\frac{12}{50}=0.24$。

甲组近视频率更高，说明甲组近视比例更大。这里不能只比频数 6 和 12，因为两组总人数不同，必须比较频率。

对比

项目	频数	频率
含义	某组数据的个数	该组个数占总数的比例
计算	直接数个数	频数除以数据总数
取值范围	$0,1,2,\dots ,n$	$0$ 到 $1$
单位	人、个、次等	没有单位
各组之和	等于数据总数	等于 1
是否随样本变化	随样本量变化	随样本变化，但可比性更强
常见表示	统计表中的「人数」「个数」	小数、百分数、扇形图占比

频率与概率

频率和概率都描述「可能性」，但层次不同：

• 频率是已经做完的试验中，某事件发生的次数除以总次数，是「事后统计」。
• 概率是事件本身在理论上发生的可能性，是「事前刻画」。

大量重复试验中，频率会围绕概率上下波动，并逐渐稳定在概率附近。这个性质叫频率的稳定性，也是用频率估计概率的依据。但一次试验的频率不必等于概率，样本量越小，偏差可能越大。

课堂提示

• 本页难点：频数是「个数」，频率是「占比」，两者的单位和意义不同。
• 一句提问：甲组 6 人近视、乙组 12 人近视，为什么不能直接说乙组更严重？
• 板书/操作：列一张两行表，先数频数，再用频数除以总数算频率，最后把频率相加检查是否为 1。