人教A版选择性必修第二册第四章《数列》教材同步学习指南

学习顺序

4.1 数列的概念

数列的项数可以有限（有穷数列）或无限（无穷数列）。给出数列的两条途径：

• 通项公式：$a_n=f(n)$，如 $a_n=2n-1$ 给出奇数列；
• 递推公式：如 $a_1=1,a_{n+1}=2a_n$，需逐层计算，但更能反映生成机制。

由前 $n$ 项和求通项是关键技巧：$a_1=S_1$，$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$，最后务必检验 $n=1$ 是否符合通项，不符合则写成分段形式。

4.2 等差数列

定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 $d$（公差），即 $a_{n+1}-a_n=d$。

通项公式（累加法或归纳）：

$a_n=a_1+(n-1)d.$

它是关于 $n$ 的一次函数（$d=0$ 时为常数列）。等差中项：若 $a,A,b$ 成等差数列，则 $A=\frac{a+b}{2}$。

前 $n$ 项和（倒序相加法，高斯求和的推广）：

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d.$

它是关于 $n$ 的常数项为 0 的二次函数（$d\ne 0$ 时），这一结构常用于由 $S_n$ 反判等差。

4.3 等比数列

定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 $q$（公比，$q\ne 0$），即 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$。等比数列各项均不为 0。

通项公式（累乘法）：

$a_n=a_1{q}^{n-1}.$

它是指数型函数。等比中项：若 $a,G,b$ 成等比数列，则 $G^2=ab$，$G=\pm \sqrt{ab}$（$ab>0$ 时才存在，且有两值，易错）。

前 $n$ 项和（错位相减法）：

$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& q=1,\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q},& q\ne 1.\end{array}$

错位相减本身是一种通用求和术，适用于「等差乘等比」型数列（如 $\{n\cdot 2^n\}$）的求和。

4.4 数学归纳法

证明与正整数 $n$ 有关的命题 $P(n)$ 的标准程序：

1. 奠基：验证 $n=n_0$（通常 $n_0=1$）时命题成立；
2. 递推：假设 $n=k$（$k\ge n_0$）时命题成立（归纳假设），证明 $n=k+1$ 时命题也成立。

两步齐备才能下结论「对一切 $n\ge n_0$ 成立」。递推步必须真正用到归纳假设，否则不是数学归纳法。常见题型：恒等式、不等式（放缩）、整除性、数列通项与求和公式的验证。

数列求和的常用方法

教材在例题习题中渗透四类：公式法（直接用等差等比公式）、倒序相加法（首尾配对）、错位相减法（等差乘等比）、裂项相消法（如 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，中间项两两抵消）。识别结构选方法是求和题的核心。

本章的三条主线结论

1. 数列是离散的函数：通项公式即解析式，等差对应线性、等比对应指数，函数研究方法全线通用。
2. 两个定义、两套公式撑起全章：等差的「差不变」与等比的「比不变」各导出通项与求和公式，倒序相加与错位相减是推导方法，也是独立求和工具。
3. $a_n$ 与 $S_n$ 的互化是枢纽：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$，$a_1$ 单独验），已知和式求通项、已知通项求和式是两类基本题型。

最易错：$q=1$ 的讨论遗漏、由 $S_n$ 求 $a_n$ 忘验首项、等比中项只取正值、数学归纳法递推步不用假设。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 数列 $1,3,5,7,\dots$ 的通项公式。——$a_n=2n-1$。
2. 等差数列中 $a_3=7$，$a_7=19$，求 $d$ 与 $a_1$。——$4d=12$，$d=3$；$a_1=7-2\times 3=1$。
3. 等比数列 $a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，求 $S_4$。——$S_4=\frac{1-(1/2{)}^4}{1-1/2}=\frac{15}{8}$。
4. 已知 $S_n=n^2+2n$，求 $a_n$。——$a_1=3$；$n\ge 2$ 时 $a_n=2n+1$；$n=1$ 也符合，故 $a_n=2n+1$。
5. 求和：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}$。——裂项得 $1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$。
6. 用数学归纳法证明 $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ 时，递推步怎么写？——假设 $n=k$ 时和为 $k^2$，则 $n=k+1$ 时和为 $k^2+(2k+1)=(k+1{)}^2$。

第 2、3 题出错说明基本量法不熟；第 4 题出错说明 $a_n$ 与 $S_n$ 关系不牢；第 5 题出错说明裂项模型没见过。

学完本章之后

• 选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》：数列的差分 $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n$ 是离散的「变化率」，与导数的连续变化率互为对照。
• 高考：数列是高考解答题的稳定板块，等差等比基本量计算、由 $S_n$ 求 $a_n$、错位相减与裂项求和是四大高频题型。
• 实际应用：分期付款、复利计息、人口增长、细胞分裂都是等比模型；均匀折旧、阶梯计价是等差模型。

一句口诀收尾：数列本是整标函数，通项递推两种表述；等差均匀等比倍，公式法中藏倒序；错位相减裂项消，$S_n$ 求 $a_n$ 验首项；归纳证明两步走，奠基递推缺一不可。