苏科版八年级下册第11章《二次根式》教材同步学习指南

定义

形如 $\sqrt{a}(a\ge 0)$ 的式子叫二次根式，其中 $a$ 叫被开方数。

二次根式有意义的条件是被开方数非负。二次根式的结果本身也非负，即 $\sqrt{a}\ge 0$。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
11.1 二次根式的概念	判断是否有意义，确定字母范围	被开方数非负
11.2 二次根式的乘除	运用乘除法则，化最简二次根式	分母不含根号，被开方数不含平方因数
11.3 二次根式的加减	化简后合并同类二次根式	系数相加减，根式不变

11.1 二次根式的概念

二次根式的两条基本性质： $(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0),$ $\sqrt{a^2}=|a|.$

第二条性质最容易出错。当 $a\ge 0$ 时，$\sqrt{a^2}=a$；当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a$。例如 $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=-(-3).$

例：$\sqrt{x-3}$ 有意义的条件是 $x-3\ge 0$，即 $x\ge 3$。

11.2 二次根式的乘除

乘法法则： $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\ge 0,b\ge 0).$

除法法则： $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0,b>0).$

例： $\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2},$ $\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

最简二次根式要满足：

1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

例如 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 是最简形式，$\sqrt{12}$ 本身不是；$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 也不是最简形式，应写成 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

分母有理化时，分子分母要同乘同一个因式： $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

11.3 二次根式的加减

二次根式加减的步骤：

1. 把每个二次根式化成最简二次根式；
2. 找出被开方数相同的二次根式；
3. 合并同类二次根式，系数相加减。

例： $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}.$

例： $\sqrt{8}-\sqrt{18}=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}.$

只有被开方数相同的最简二次根式才能合并。$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，不能合并成 $\sqrt{5}$。

例：计算 $(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=5-2=3.$ 这里用了平方差公式，根式运算常与乘法公式配合。

本章的三条主线结论

1. 被开方数非负是前提：判断有意义、化简、去绝对值都要先看范围
2. 乘除可以“并到根号里”，加减不可以：$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$，但 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$
3. 先化最简，再合并：加减运算的第一步永远是化简

自测

先自己完成，再看答案：

1. $\sqrt{x-5}$ 有意义的条件是什么？——$x\ge 5$
2. $\sqrt{(-4{)}^2}$ 等于多少？——4
3. 化简 $\sqrt{18}$。——$3\sqrt{2}$
4. 计算 $\sqrt{12}+\sqrt{27}$。——$5\sqrt{3}$
5. 把 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 分母有理化。——$\frac{\sqrt{3}}{3}$
6. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 等于 $\sqrt{5}$ 吗？——不等于

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、6 题出错，说明绝对值与加减法则还需再练。

学完本章之后

本章完成了初中“数与式”的最后一块拼图：

• 九年级上册《一元二次方程》：公式法中的判别式和求根公式都含二次根式
• 九年级下册《锐角三角函数》：特殊角的三角函数值会出现 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$
• 高中《复数》：负数开平方引入虚数单位，二次根式的范围被进一步扩展

把“先看范围—再化简—最后合并”做成固定顺序，二次根式题就不容易出错。