浙教版八年级下册第1章《二次根式》教材同步学习指南

定义

形如 $\sqrt{a}(a\ge 0)$ 的式子叫二次根式，其中 $a$ 叫被开方数。二次根式表示算术平方根，因此 $\sqrt{a}\ge 0$。

本章的主线是：先确定式子有意义，再用性质化简，最后按乘除、加减的顺序运算。运算结果通常要化成最简二次根式。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 二次根式	判断二次根式是否有意义	被开方数非负，会求字母取值范围
1.2 二次根式的性质	用基本性质化简	$(\sqrt{a}{)}^2=a$，$\sqrt{a^2}=|a|$
1.3 二次根式的运算	乘除、分母有理化、加减	结果化为最简二次根式

1.1 二次根式

二次根式有意义的条件是被开方数非负。含字母时，要把条件写成不等式（组）：

• $\sqrt{3x-6}$ 有意义，要求 $3x-6\ge 0$，即 $x\ge 2$；
• $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ 有意义，要求 $x-1\ge 0$ 且 $2-x\ge 0$，即 $1\le x\le 2$。

若二次根式在分母上，还要另外要求它不为 0。

提醒：条件看的是被开方数，不是整个根式的值。$\sqrt{x-3}$ 中不能写成 $x\ge 0$。

1.2 二次根式的性质

基本性质如下：

$(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0),$

$\sqrt{a^2}=|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0,\\ -a,& a<0,\end{array}$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}(a\ge 0,b\ge 0),\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\ge 0,b>0).$

例：$\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$；若 $x<2$，则 $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|=2-x.$

提醒：$\sqrt{a^2}=a$ 只在 $a\ge 0$ 时成立；$a<0$ 时结果是 $-a$。这是本章最容易丢分的一步。

1.3 二次根式的运算

乘除：把被开方数相乘除，能开得尽方的因数移到根号外，

$\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6,\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3.$

化简：把被开方数中能开得尽方的因数移到根号外，并使被开方数不含分母：

$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.$

分母有理化：分子分母同乘适当的因式。例如

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},$

因为 $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1$。

加减：先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的项（同类二次根式）：

$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3},$

$\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

提醒：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$，根号不能对加法分配；只有同类二次根式才能合并。

本章的三条主线结论

1. 有意义是前提：被开方数非负，含字母时先解不等式（组）
2. 化简靠性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$ 是全部运算的基础
3. 加减即合并：化成最简二次根式后，只合并同类二次根式的系数

自测

先自己完成，再看答案：

1. $\sqrt{4x-8}$ 有意义的条件是什么？——$x\ge 2$
2. 计算 $\sqrt{(-3{)}^2}$。——$3$
3. 计算 $\sqrt{18}-\sqrt{8}$。——$\sqrt{2}$
4. 计算 $(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})$。——$4$
5. 把 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 分母有理化。——$\frac{\sqrt{5}}{5}$
6. 计算 $\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{3}}$。——$\frac{7\sqrt{3}}{3}$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、6 题出错，说明绝对值化简与同类二次根式合并还需再练。

学完本章之后

• 第2章《一元二次方程》：求根公式含 $\sqrt{b^2-4ac}$，配方与开方都要用到二次根式化简
• 勾股定理与几何计算：边长结果常写成最简二次根式，如 $2\sqrt{5}$
• 高中《指数函数与对数函数》：根式与分数指数幂互相转化，二次根式是起点

把「先看被开方数、再化最简、最后合并同类项」固定成流程，二次根式运算就不会乱。