苏科版八年级下册第9章《因式分解》教材同步学习指南

定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

因式分解与整式乘法互为逆变形： $(x+1)(x-1)\stackrel{\text{整式乘法}}{\to }{x}^2-1,$ $x^2-1\stackrel{\text{因式分解}}{\to }(x+1)(x-1).$

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
9.1 因式分解的概念	辨认因式分解，理解互逆关系	会判断是不是因式分解
9.2 提公因式法	找公因式，提取后检查项数	公因式提取干净
9.3 公式法	套用平方差、完全平方公式	分解到不能再分解

9.1 因式分解的概念

判断一个变形是不是因式分解，看两点：

1. 结果必须是几个整式的积；
2. 变形前后必须恒等。

例如 $x^2-4=(x+2)(x-2)$ 是因式分解；$(x+2)(x-2)=x^2-4$ 是整式乘法，不是因式分解。$x^2-4=x\left(x-\frac{4}{x}\right)$ 也不是，因为 $\frac{4}{x}$ 不是整式。

9.2 提公因式法

各项都含有的公共因式叫公因式。提公因式时：

• 系数取各项系数的最大公约数；
• 字母取各项都含有的字母；
• 相同字母取最低次幂。

例： $6x^2-9x=3x(2x-3).$

例： $-4a^{2}b+8a{b}^2=-4ab(a-2b).$

提公因式后，括号内项数必须与原多项式项数相同。某一项恰好等于公因式时，括号里要留下 1，不能省略。

9.3 公式法

平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b).$

例： $x^2-16=(x+4)(x-4),$ $4m^2-9n^2=(2m+3n)(2m-3n).$

完全平方公式： $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2,$ $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2.$

例： $x^2+6x+9=(x+3{)}^2,$ $4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b{)}^2.$

分解的一般顺序是“一提二套三检查”：

1. 先看有没有公因式，有就先提；
2. 再看能不能套平方差或完全平方公式；
3. 最后检查每个因式是否还能继续分解。

例： $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2).$ 这里先提公因式 2，再用平方差公式，两步都不能省。

例： $x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1).$ $x^2-1$ 还能分解，不能停在第一步。

本章的三条主线结论

1. 因式分解是整式乘法的逆过程：结果必须是积，且展开后与原式恒等
2. 先提公因式，再套公式：顺序反了容易漏掉公因式
3. 分解必须彻底：每个因式都不能再分解才算完成

自测

先自己完成，再看答案：

1. $6x^2-9x$ 分解因式的结果是什么？——$3x(2x-3)$
2. $x^2-25$ 分解因式的结果是什么？——$(x+5)(x-5)$
3. $x^2+8x+16$ 分解因式的结果是什么？——$(x+4{)}^2$
4. $2x^2-18$ 分解因式的结果是什么？——$2(x+3)(x-3)$
5. $(x+2)(x-2)=x^2-4$ 是因式分解吗？——不是，是整式乘法
6. $x^4-16$ 分解因式的结果是什么？——$(x^2+4)(x+2)(x-2)$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4、6 题出错，说明“先提公因式、再继续分解”的顺序还需再练。

学完本章之后

本章是整式变形的关键工具：

• 八年级下册《分式》：约分、通分都要先分解因式
• 九年级上册《一元二次方程》：因式分解法解方程直接依赖本章
• 九年级下册《二次函数》：求抛物线与 $x$ 轴交点时会用到因式分解

把“一提二套三检查”做成固定流程，因式分解才不会漏步。