苏科版八年级下册第8章《四边形》教材同步学习指南

定义

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

有一个角是直角的平行四边形叫矩形；有一组邻边相等的平行四边形叫菱形；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫梯形；两腰相等的梯形叫等腰梯形。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
8.1 平行四边形	掌握性质与判定	边、角、对角线三条线索
8.2 特殊的平行四边形	矩形、菱形、正方形的判定链	先平行四边形，再补特殊条件
8.3 三角形的中位线	用中位线定理解比例问题	平行于第三边且等于其一半
8.4 梯形	等腰梯形的性质与判定	同一底上的角、对角线

8.1 平行四边形

平行四边形的性质：

• 对边平行且相等；
• 对角相等；
• 对角线互相平分。

平行四边形的判定：

1. 两组对边分别平行的四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形；
4. 对角线互相平分的四边形。

注意第 3 条必须是“同一组对边”既平行又相等。若只是一组对边平行、另一组对边相等，等腰梯形也满足，不能判定为平行四边形。

例：平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$。由对角线互相平分，得 $OA=OC,OB=OD.$

8.2 特殊的平行四边形

图形	特有性质	常用判定
矩形	四个角都是直角，对角线相等	一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形
菱形	四条边相等，对角线互相垂直且平分每组对角	一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形
正方形	兼具矩形与菱形的全部性质	一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形

判定正方形时，最稳妥的路径是：

1. 先证明四边形是平行四边形；
2. 再证明它有一个角是直角（成为矩形）；
3. 最后证明它有一组邻边相等（成为正方形）。

例：菱形两条对角线长分别为 6 和 8，则面积为 $S=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24.$ 因为对角线互相垂直平分，边长由勾股定理得 $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

8.3 三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

例：在 $△ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则 $DE\parallel BC,DE=\frac{1}{2}BC.$

中位线常用来：

• 证明两条线段平行；
• 求线段长度或线段之比；
• 构造平行四边形，转移线段。

要注意中位线连接的是两边中点，中线连接的是顶点和对边中点，两者不是同一条线段。

8.4 梯形

梯形只有一组对边平行。两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形的性质：

• 两腰相等；
• 同一底上的两个角相等；
• 两条对角线相等。

等腰梯形的判定：

1. 两腰相等的梯形；
2. 同一底上的两个角相等的梯形；
3. 对角线相等的梯形。

例：等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=CD$，过点 $A$ 作 $AE\parallel DC$ 交 $BC$ 于点 $E$，则四边形 $AECD$ 是平行四边形，$△ABE$ 是等腰三角形，由此可以把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题。

本章的三条主线结论

1. 平行四边形看边、角、对角线：性质与判定互为逆命题，记一条就要想另一条
2. 特殊平行四边形层层加条件：矩形加直角，菱形加邻边相等，正方形两者都要
3. 中位线是“一半”与“平行”的组合：遇到两个中点，先想中位线

自测

先自己完成，再看答案：

1. 平行四边形的对角线有什么性质？——互相平分
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？——是
3. 矩形的对角线有什么特有性质？——相等
4. 菱形两条对角线分别为 10 和 24，面积是多少？——120
5. 三角形中位线与第三边有什么关系？——平行且等于第三边的一半
6. 等腰梯形同一底上的两个角有什么关系？——相等

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、3 题出错，说明判定条件与性质对应关系还需再理。

学完本章之后

本章是初中四边形体系的收口：

• 九年级上册《圆》：圆内接四边形、切线与半径的关系会继续用到角与垂直
• 九年级下册《图形的相似》：中位线、平行线分线段成比例是相似三角形的前置工具
• 高中立体几何：平行四边形、矩形、菱形仍是平面图形推理的基础

把“先定图形，再列性质，最后补判定”写成固定顺序，四边形证明题就有了清晰的入口。