浙教版七年级下册第4章《因式分解》教材同步学习指南

定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式。它与整式乘法互为逆变形：

$ma+mb+mc\stackrel{\text{因式分解}}{\to }m(a+b+c).$

因式分解的结果必须是乘积形式，每个因式都必须是整式，并且要分解到不能再分解为止。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 因式分解的意义	理解“和差化积”及分解要求	会判断一个变形是否为因式分解
4.2 提取公因式法	找公因式并正确提取	系数、字母、整体三看，项数不减少
4.3 用乘法公式分解因式	套用平方差、完全平方公式	认准结构，分解彻底

4.1 因式分解的意义

判断一个变形是不是因式分解，看三点：

• 结果是不是几个整式的积；
• 每个因式是不是整式；
• 是否分解到不能再分解。

例：$x^2-4=(x+2)(x-2)$ 是因式分解，展开右边得 $x^2-4$，与左边一致。

下面几种变形要注意区分：

• $(x+2)(x-2)=x^2-4$ 是整式乘法，方向与因式分解相反；
• $x^2-4=x\left(x-\frac{4}{x}\right)$ 不是因式分解，因为 $\frac{4}{x}$ 不是整式；
• $x^2-4=(x+2)(x-2)$ 已经分解彻底，两个因式都不能再分解。

易错：因式分解的结果必须是乘积，不能保留未合并的和差；判断时先看方向，再看因式是否为整式。

4.2 提取公因式法

多项式各项都含有的公共因式叫公因式。把公因式提到括号外面，这种分解方法叫提公因式法：

$ma+mb+mc=m(a+b+c).$

找公因式分三步：系数取最大公约数；字母取各项都含有的相同字母的最低次幂；相同的整体因式也可以提取。

例：

$6a^{2}b-9a{b}^2=3ab(2a-3b).$

展开验证：$3ab\cdot 2a=6a^{2}b$，$3ab\cdot (-3b)=-9a{b}^2$，与原文一致。

三项的情况：

$3x^{2}y-6xy+3x=3x(xy-2y+1).$

最后一项 $3x÷3x=1$，这个 1 不能漏。若提出负号，括号内每一项都要变号：

$-4x^2+8x=-4x(x-2).$

易错：提公因式后括号内项数应与原多项式项数相同；某一项被全部提走时括号内要写 1；提出负号后不能只改第一项的符号。

4.3 用乘法公式分解因式

把乘法公式反过来，就得到因式分解的公式：

$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$

$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2.$

例：

$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4),$

$9a^2-4b^2=(3a{)}^2-(2b{)}^2=(3a+2b)(3a-2b),$

$x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3{)}^2,$

$4a^2-12ab+9b^2=(2a{)}^2-2\cdot 2a\cdot 3b+(3b{)}^2=(2a-3b{)}^2.$

分解要彻底：

$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1).$

第一次用平方差后，$x^2-1$ 还能继续分解，不能停在 $(x^2+1)(x^2-1)$。

易错：$a^2+b^2$ 是平方和，不能直接用平方差或完全平方公式分解；$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$，中间项是负号时括号内也是减号；系数不是平方数时先提公因式，如 $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$。

本章的三条主线结论

1. 因式分解是整式乘法的逆变形：结果必须是几个整式的积。
2. 一提二套三查：先提公因式，再套乘法公式，最后检查是否分解彻底。
3. 公式要认结构：两项看平方差，三项看完全平方，平方和不能硬套公式。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $x^2-9$ 分解因式。——$(x+3)(x-3)$
2. $6a^{2}b-9a{b}^2$ 分解因式。——$3ab(2a-3b)$
3. $x^2+8x+16$ 分解因式。——$(x+4{)}^2$
4. $4x^2-12x+9$ 分解因式。——$(2x-3{)}^2$
5. $x^4-1$ 分解彻底。——$(x^2+1)(x+1)(x-1)$
6. $2x^2-8$ 分解因式。——$2(x+2)(x-2)$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 5、6 题出错，说明“分解彻底”和“先提公因式”还需再练。

学完本章之后

因式分解是后续代数变形的常用工具：

• 第5章《分式》：约分要约去分子分母的公因式，通分要分解分母，都离不开本章；
• 八年级下册《一元二次方程》：因式分解法把方程化成两个一次因式的积，直接得到根；
• 高中《一元二次不等式》：先因式分解，再判断各因式的符号，得到解集。

把“先看公因式、再看项数与结构、最后检查彻底”做成流程，因式分解就不会停在半路。