苏科版九年级下册第7章《图形的相似》教材同步学习指南

定义

形状相同的图形叫相似图形。两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，就叫相似多边形。

相似多边形对应边的比叫相似比。相似三角形是相似多边形的特殊情形。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
7.1 相似多边形	理解比例线段与相似比	对应角相等、对应边成比例
7.2 相似三角形的判定	用角、边判定相似	两角、两边夹角、三边
7.3 相似三角形的性质	由相似比推周长、面积	面积比是相似比的平方
7.4 相似三角形的应用	测高、测距	把实际问题转化为相似三角形

7.1 相似多边形

比例的基本性质： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc(b\ne 0,d\ne 0).$

若点 $P$ 把线段 $AB$ 分成 $AP>PB$，且 $A{P}^2=AB\cdot PB,$ 则 $\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618,$ 这个比叫黄金分割比，点 $P$ 叫线段 $AB$ 的黄金分割点。

相似多边形的对应角相等，对应边成比例。判定两个多边形相似，两个条件缺一不可。

7.2 相似三角形的判定

相似三角形的判定方法：

1. 两角分别相等的两个三角形相似；
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3. 三边成比例的两个三角形相似；
4. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

第 2 条中的“夹角”必须是两组对应边所夹的角。若相等的角不是夹角，不能判定相似。

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

7.3 相似三角形的性质

相似三角形的性质：

• 对应角相等，对应边成比例；
• 周长比等于相似比；
• 面积比等于相似比的平方；
• 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。

例：两个相似三角形的相似比为 $2:3$，则

比较项	比
对应边	$2:3$
周长	$2:3$
对应高	$2:3$
面积	$4:9$

面积比是相似比的平方，这是最容易被误写成 $2:3$ 的地方。

7.4 相似三角形的应用

相似三角形常用于测量不能直接到达或直接测量的长度。

例：同一时刻，身高 1.6 米的人的影长为 2 米，旗杆的影长为 10 米。设旗杆高为 $h$ 米，由相似三角形得 $\frac{h}{1.6}=\frac{10}{2},$ 所以 $h=1.6\times 5=8.$ 旗杆高 8 米。

例：测量池塘两端 $A$、$B$ 的距离时，可以在岸上构造与 $△ABC$ 相似的三角形，通过测量较短的边，按相似比算出 $AB$。

应用题的步骤：

1. 把实际情境画成几何图形；
2. 找出相似三角形；
3. 按对应边成比例列式；
4. 解出未知量并检验单位。

位似图形

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。

位似图形的性质：

• 位似图形一定是相似图形；
• 对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
• 对应边平行或共线。

位似图形与一般相似图形的区别在于“对应点连线共点”。画位似图形时，先确定位似中心，再按位似比在射线上截取对应点。

本章的三条主线结论

1. 相似看“角相等、边成比例”：两个条件同时满足
2. 面积比是相似比的平方：周长、高、中线都按相似比，只有面积要平方
3. 位似是特殊的相似：多了一个“对应点连线共点”的条件

自测

先自己完成，再看答案：

1. 相似三角形的对应角有什么关系？——相等
2. 相似比为 $3:4$ 的两个三角形，周长比是多少？——$3:4$
3. 相似比为 $3:4$ 的两个三角形，面积比是多少？——$9:16$
4. 黄金分割比约等于多少？——0.618
5. 身高 1.5 米的人影长 2 米，旗杆影长 12 米，旗杆高多少米？——9 米
6. 位似图形一定是相似图形吗？——是

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、5 题出错，说明面积比与相似应用还需再练。

学完本章之后

本章把“形状相同”从直观描述变成可计算的判定与性质：

• 九年级下册《锐角三角函数》：直角三角形中的边角比与相似比互相呼应
• 九年级下册《投影与视图》：平行投影下的物高与影长成比例
• 高中《解析几何》：相似变换、位似变换可以用坐标表示

把“先找对应角—再找对应边—最后确定相似比”做成顺序，相似题就不容易找错边。