浙教版八年级上册第3章《一元一次不等式》教材同步学习指南

定义

用符号“$<$”“$>$”“$\le$”“$\ge$”“$\ne$”连接而成的数学式子叫不等式。

只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式两边都是整式的不等式，叫一元一次不等式。

几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

本章主线：认识不等关系 → 掌握不等式性质 → 解一元一次不等式 → 解不等式组并应用。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 认识不等式	用不等号表示不等关系	会列不等式，会在数轴上表示解集
3.2 不等式的基本性质	比较不等式与等式的性质	记住乘除负数要变号
3.3 一元一次不等式及其解法	按步骤求解并在数轴上表示	会求整数解
3.4 一元一次不等式组	求各解集的公共部分	会解应用题并筛选整数解

3.1 认识不等式

不等号包括 $<$、$>$、$\le$、$\ge$、$\ne$，其中“$\le$”读作小于或等于，“$\ge$”读作大于或等于。使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，所有解的全体叫不等式的解集。

在数轴上表示解集时，含等号的端点画实心点，不含等号的端点画空心圈；大于向右画，小于向左画。

例：用不等式表示“$x$ 的 2 倍与 3 的差不小于 5”，得 $2x-3\ge 5$。$x=4$ 时左边为 5，不等式成立；$x=3$ 时左边为 3，不等式不成立。

常见表述的转换：限速 60 km/h 写成 $v\le 60$；“至少 3 人”写成 $n\ge 3$；“非负数”写成 $x\ge 0$。

易错：“不小于”对应“$\ge$”，“不大于”对应“$\le$”，不要与“$>$”“$<$”混淆。

3.2 不等式的基本性质

不等式的基本性质：

1. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。若 $a<b$，则 $a+c<b+c$。
2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若 $a<b$，$c>0$，则 $ac<bc$。
3. 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。若 $a<b$，$c<0$，则 $ac>bc$。

例：已知 $a<b$，则 $a-3<b-3$；$-2a>-2b$，因为两边同乘 $-2$，不等号变向。

易错：不等式两边不能同乘 0，否则变成等式；同乘或同除以负数时必须改变不等号方向，这一步是本章失分最多的地方。

3.3 一元一次不等式及其解法

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。最后一步如果两边同除以负数，不等号要变向。

例：解不等式 $3(x-1)\le 5x+1$。去括号得 $3x-3\le 5x+1$，移项得 $3x-5x\le 1+3$，合并得 $-2x\le 4$，两边同除以 $-2$ 得 $x\ge -2$。检验：$x=-2$ 时，左边 $=3\times (-3)=-9$，右边 $=5\times (-2)+1=-9$，不等式成立。

在数轴上表示 $x\ge -2$：在 $-2$ 处画实心点，向右画箭头。

例：解不等式 $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{2}>1$。去分母，两边同乘 6，得 $2(2x-1)-3(x+2)>6$，去括号得 $4x-2-3x-6>6$，合并得 $x-8>6$，所以 $x>14$。

易错：去分母时不含分母的项也要乘 6；分子是多项式时，去分母后要加括号。

3.4 一元一次不等式组

不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分。

不等式组（$a<b$）	解集
$x>a$，$x>b$	$x>b$
$x<a$，$x<b$	$x<a$
$x>a$，$x<b$	$a<x<b$
$x<a$，$x>b$	无解

四句口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解。

例：解不等式组 $\{\begin{array}{l}2x-1>3\\ 3-x\ge -1\end{array}$。由第一个不等式得 $x>2$，由第二个不等式得 $x\le 4$，所以解集为 $2<x\le 4$，其中的整数解为 $3$、$4$。

应用例：某班用 200 元购买单价 15 元的笔记本，要求至少买 10 本且钱够用。设买 $x$ 本，则 $15x\le 200$ 且 $x\ge 10$，得 $10\le x\le \frac{200}{15}$。因为 $13\times 15=195\le 200$，$14\times 15=210>200$，所以 $x$ 可取 10、11、12、13，最多买 13 本。

易错：求不等式组的解集是求交集，不是并集；实际问题中的本数、人数等还要取整数解。

本章的三条主线结论

1. 不等式性质与等式性质只差一条：两边乘或除以负数，不等号方向改变。
2. 解法步骤与方程相同：去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1，最后检查是否变号。
3. 不等式组取公共部分：先分别求解，再在数轴上找重叠区间，实际问题还要筛选整数解。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 用不等式表示“$a$ 的 3 倍不大于 7”。——$3a\le 7$。
2. 由 $-5x>10$ 可以得到什么？——$x<-2$。
3. 解不等式 $2(x+1)>x-3$。——$x>-5$。
4. 不等式组 $x\ge -1$ 与 $x<2$ 的解集是什么？——$-1\le x<2$。
5. 不等式 $x+3\le 5$ 的正整数解有哪些？——1、2。
6. 某商品单价 12 元，用 100 元最多买几件？——8 件，因为 $12\times 8=96\le 100$，$12\times 9=108>100$。

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、4 题出错，说明不等号变向与解集取交集还需再练。

学完本章之后

• 第5章《一次函数》：自变量取值范围、比较两个函数值的大小，都要用到不等式。
• 高中《集合与常用逻辑用语》：不等式的解集用集合表示，不等式组取公共部分就是求交集。
• 高中《一元二次不等式》：由一次不等式推广到二次不等式，解法仍以数轴和区间为核心。