浙教版九年级上册第2章《随机事件的概率》教材同步学习指南

学习顺序

2.1 随机事件

判断事件类型，要抓住“在一定条件下”这个前提。同一个事件在不同条件下可能属于不同类型。

例：袋中装有 3 个红球、1 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球。

• “摸到红球”是随机事件，因为可能摸到红球，也可能摸到白球；
• “摸到黄球”是不可能事件，因为袋中没有黄球；
• “摸到的球是红球或白球”是必然事件，因为袋中只有这两种颜色。

再如“在标准大气压下，水加热到 $100{}^{\circ }\text{C}$ 沸腾”是必然事件，“掷一枚骰子，点数为 7”是不可能事件。

易错：随机事件只是“可能发生”，发生的可能性有大有小，并不是“发生与不发生各占一半”。

2.2 简单随机事件的概率

只有当所有结果等可能时，才能用 $P(A)=\frac{m}{n}$ 计算。若各结果不是等可能的，就不能直接数个数。

例 1：掷一枚均匀骰子，点数大于 4 的结果有 5、6 两种，所以 $P(\text{点数大于4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

例 2：同时掷两枚均匀硬币，所有等可能结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）四种。“恰好一正一反”包含（正，反）、（反，正）两种，所以

$P(\text{一正一反})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

例 3：袋中 2 个红球、3 个白球，共 5 个球，每个球被摸到的机会相同，所以摸到红球的概率为 $\frac{2}{5}$。

易错：把“一正一反”当成一种结果，会得到 $\frac{1}{3}$ 的错误答案。列举时要把（正，反）与（反，正）分开，才能保证每个基本事件等可能。

2.3 用频率估计概率

在相同条件下重复试验，事件 $A$ 发生的次数叫频数，频数与试验总次数的比叫频率： $\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{试验次数}}.$ 当试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为事件概率的估计值。

例：抛一枚硬币 1000 次，其中正面朝上 501 次，则正面朝上的频率为 $\frac{501}{1000}=0.501,$ 可以估计正面朝上的概率约为 $0.5$，与理论值 $\frac{1}{2}$ 吻合。

例：用 1000 粒种子做发芽试验，有 920 粒发芽，发芽的频率为 $0.92$，可估计这种种子的发芽概率约为 $0.92$。若播种 5000 粒，估计发芽 $5000\times 0.92=4600$ 粒。

易错：抛硬币 10 次出现 6 次正面，频率是 $0.6$，但不能说概率是 $0.6$。试验次数较少时频率波动很大，只有大量重复试验得到的稳定值才适合作为概率的估计。

2.4 概率的简单应用

概率可以用来判断游戏是否公平：双方获胜的概率相等，游戏才公平。

例：袋中 2 个红球、1 个白球，摸到红球甲胜，摸到白球乙胜。因为 $P(\text{甲胜})=\frac{2}{3},P(\text{乙胜})=\frac{1}{3},$ 两人获胜概率不相等，所以游戏不公平。往袋中再放入 1 个白球后，袋中 2 红 2 白，双方获胜概率都是 $\frac{1}{2}$，游戏就公平了。

概率还可以用来估计总体数量。例：从池塘中捕 200 条鱼做上标记后放回，充分混合后再捕 100 条，发现其中 5 条有标记。设池塘中鱼的总数为 $N$，用样本中标记鱼的比例估计总体比例： $\frac{200}{N}=\frac{5}{100},$ 解得 $N=4000$，即池塘中约有 4000 条鱼。

易错：判断游戏公平要看概率是否相等，不能凭某一次输赢下结论；用标记法估计总数时，标记的鱼必须充分混匀，样本要有代表性。

本章的三条主线结论

1. 先分类再计算：先判断事件类型，再确认结果是否等可能，最后才套用 $P(A)=\frac{m}{n}$。
2. 列举要不重不漏：基本事件必须等可能，复合事件要数清它包含几个基本事件。
3. 频率估计概率：频率是试验值，概率是确定值，大量重复试验下频率稳定于概率。

自测

先自己完成，再看答案：

1. “太阳从东方升起”是什么事件？——必然事件
2. 掷一枚均匀骰子，点数是 3 的倍数的概率是多少？——3 和 6 两种结果，$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
3. 袋中 3 个红球、2 个白球，任意摸出一个球，摸到白球的概率是多少？——$\frac{2}{5}$
4. 抛硬币 10 次，6 次正面朝上，频率是多少？能说概率是 0.6 吗？——频率为 $0.6$，不能说概率是 $0.6$，概率约为 $0.5$
5. 同时掷两枚均匀骰子，点数和为 12 的概率是多少？——只有（6，6）一种，$P=\frac{1}{36}$
6. 池塘中捕 200 条鱼做标记后放回，再捕 100 条中有 5 条带标记，估计池塘中鱼的总数。——$\frac{200}{N}=\frac{5}{100}$，得 $N=4000$ 条

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4、6 题出错，说明频率与概率的区别、用样本估计总体的方法还需再练。

学完本章之后

本章把“可能性”从定性描述推进到定量计算：

• 高中《概率》：在古典概型基础上学习事件的运算、条件概率与独立性问题
• 高中《统计》：用样本频率分布估计总体分布，与本章的标记法思想一脉相承
• 实际应用：抽奖规则设计、保险定价、产品质量抽检都离不开概率估计

把“判类型—数结果—算比值—看是否等可能”做成固定流程，概率题就不会在计数上丢分。