北师大版九年级上册第三章《概率的进一步认识》教材同步学习指南

学习顺序

1 用树状图或表格求概率

表格法适合两步试验：行表示第一步的结果，列表示第二步的结果，每个单元格对应一种组合。统计目标结果所占的格子数，再除以总格子数。

树状图适合两步及以上的试验：先画第一步的所有结果，再在每一个结果下继续画第二步，最后数出目标路径数。

使用前先确认每个结果是否等可能。转盘、摸球、掷骰子等问题，如果每个基本结果出现的机会相同，就可以直接用列举法。

例：掷两枚质地均匀的骰子，点数和为 $7$ 的概率是多少？

两枚骰子共有 $6\times 6=36$ 种等可能结果。和为 $7$ 的组合有 $(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共 $6$ 种，所以 $P(\text{和为 }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

例：袋中有 $2$ 个红球、$1$ 个白球，不放回地摸两次，求两次都摸到红球的概率。

第一次摸到红球的概率为 $\frac{2}{3}$；由于不放回，袋中剩下 $1$ 红 $1$ 白，第二次摸到红球的概率为 $\frac{1}{2}$。所以 $P(\text{两次都红})=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$

如果改为有放回，第二次摸球时袋中仍是 $2$ 红 $1$ 白，概率变为 $\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$ 有放回与无放回，是本章最容易混淆的地方。

2 用频率估计概率

频率是事件发生的次数与试验总次数的比值： $\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{试验总次数}}.$ 大量重复试验下，频率会在某个常数附近摆动，这个常数可以作为事件概率的估计值。

用频率估计概率的适用场景：

• 结果不是等可能的，难以直接列举；
• 试验可以大量重复，例如抛图钉、种子发芽、产品抽检；
• 需要估计总体中某类对象的数量，例如池塘中鱼的数量。

注意：频率不是概率本身，试验次数越多，频率通常越接近概率，但不会保证每次都相等。

例：抛一枚图钉 $1000$ 次，钉尖朝上的频率为 $0.6$，可以估计钉尖朝上的概率约为 $0.6$。

本章的三条主线结论

1. 等可能用列举：两步试验用表格或树状图，关键是不重不漏
2. 有放回与无放回要分清：无放回时，第二步的总数和目标数都可能减少
3. 大量重复用频率：频率估计概率的前提是试验次数足够多

自测

先自己完成，再看答案：

1. 掷两枚硬币，一正一反的概率是多少？——$\frac{1}{2}$
2. 掷两枚骰子，点数和为 $7$ 的概率是多少？——$\frac{1}{6}$
3. 袋中 $2$ 红 $1$ 白，有放回摸两次，两次都红的概率是多少？——$\frac{4}{9}$
4. 同上，不放回摸两次，两次都红的概率是多少？——$\frac{1}{3}$
5. 某事件发生的频率在 $0.35$ 附近摆动，概率估计值是多少？——约 $0.35$
6. 树状图适合几步试验？——两步及以上，尤其适合三步试验

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $3$、$4$ 题出错，说明有放回与无放回还没有分清。

学完本章之后

本章把七年级下册的概率初步推进到两步试验与频率估计：

• 第四章《图形的相似》：概率之后接相似，再往后才是投影与视图、反比例函数
• 高中古典概型：列举法、树状图、表格仍是求概率的基本工具
• 高中条件概率：有放回与无放回的区别，会在条件概率中进一步深化

把“先判断是否等可能，再选择列举方式，最后检查是否重漏”作为固定流程。