浙教版九年级上册第3章《圆的基本性质》教材同步学习指南

定义

在平面内，线段 $OA$ 绕它固定的一个端点 $O$ 旋转一周，另一个端点 $A$ 所经过的封闭曲线叫圆，记作 $\odot O$，$O$ 叫圆心，线段 $OA$ 叫半径。

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫弧。顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角。

圆既是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；又是中心对称图形，对称中心是圆心。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 圆的有关概念	辨认弦、弧、圆心角、圆周角	会规范使用圆的记号与术语
3.2 圆心角	掌握圆心角、弧、弦的对应关系	会用等弧、等弦转化圆心角
3.3 垂径定理	由半径、弦长、弦心距三者求一	会作弦心距构造直角三角形
3.4 圆周角	用圆周角定理及其推论求角	会区分同弦两侧的圆周角
3.5 圆内接四边形	用对角互补求角	会利用外角等于内对角
3.6 正多边形	把圆等分构造正多边形	会算中心角、边心距与边长
3.7 弧长及扇形的面积	套用弧长与扇形面积公式	会算弧长、扇形面积与弓形面积

3.1 圆的有关概念

圆上两点把圆分成两条弧：小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧，半圆是弧的一种。能够重合的两个圆叫等圆，圆心相同、半径不同的两个圆叫同心圆。

例：$\odot O$ 的半径为 5，则它的直径是 10。因为直径是经过圆心的弦，而弦的两端都在圆上，所以任意弦的长度都不超过直径，圆中最长的弦就是直径。

易错：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，不是弦，也不是“半个圆面”。

3.2 圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等；反过来，如果两个圆心角所对的弧相等（或弦相等、弦心距相等），那么这两个圆心角相等。

把顶点在圆心的周角分成 360 份，每一份的圆心角是 $1^{\circ }$，它所对的弧叫 $1^{\circ }$ 的弧。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

例：在 $\odot O$ 中，$\angle AOB=\angle COD=60^{\circ }$，则 $\widehat{AB}=\widehat{CD},AB=CD,$ 并且两条弦的弦心距相等。

易错：“同圆或等圆中”这个前提不能丢。两个半径不同的圆中，即使圆心角相等，所对的弧与弦也不一定相等。

3.3 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

涉及弦长、弦心距、半径的计算，常连半径、作弦心距，把问题化归为直角三角形： $R^2=d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2,$ 其中 $R$ 是半径，$d$ 是弦心距，$a$ 是弦长。

例：$\odot O$ 的半径为 10，弦 $AB=16$，作 $OC\perp AB$ 于 $C$，则 $AC=8$，所以 $OC=\sqrt{10^2-8^2}=6,$ 即圆心到弦 $AB$ 的距离为 6。

易错：直角三角形的一条直角边是半弦，不是整条弦。把 16 直接代入会得到 $\sqrt{100-256}$，无法开方。

3.4 圆周角

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：

• 同弧或等弧所对的圆周角相等；
• 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
• $90^{\circ }$ 的圆周角所对的弦是直径。

例：在 $\odot O$ 中，$\angle AOB=100^{\circ }$，点 $C$ 在优弧 $AB$ 上，则 $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=50^{\circ }.$ 若点 $D$ 在劣弧 $AB$ 上，则 $\angle ADB$ 与 $\angle ACB$ 互补，$\angle ADB=130^{\circ }$。验证：$\angle ADB$ 所对的是优弧 $AB$，其圆心角为 $360^{\circ }-100^{\circ }=260^{\circ }$，一半正是 $130^{\circ }$。

易错：同一条弦所对的圆周角有两个，它们在弦的两侧，互为补角，不能一律说相等。

3.5 圆内接四边形

四个顶点都在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫四边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，即 $\angle A+\angle C=180^{\circ },\angle B+\angle D=180^{\circ }.$ 并且圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

例：圆内接四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=70^{\circ }$，则 $\angle C=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }.$ 若延长 $BA$ 到 $E$，则 $\angle DAE$ 是四边形的外角，$\angle DAE=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$，恰好等于内对角 $\angle C$。

易错：圆内接四边形只有对角互补，邻角之间没有固定关系；也不是所有四边形都对角互补，必须先说明四点共圆。

3.6 正多边形

把圆分成 $n$ 条相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是正 $n$ 边形。正多边形的外接圆圆心叫它的中心，外接圆半径叫它的半径，中心到边的距离叫边心距。

正 $n$ 边形的中心角为 $\frac{360^{\circ }}{n},$ 每个内角为 $\frac{(n-2)\times 180^{\circ }}{n}.$ 半径 $R$、边心距 $r$、边长 $a$ 满足 $R^2=r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2.$

例：正六边形的中心角为 $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$，此时中心与两个相邻顶点构成等边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径。

易错：中心角是圆心处的角，内角是顶点处的角，二者一般不相等。正六边形中心角是 $60^{\circ }$，内角却是 $120^{\circ }$。

3.7 弧长及扇形的面积

半径为 $R$、圆心角为 $n^{\circ }$ 的弧长 $l=\frac{n\pi R}{180}.$ 由两条半径和一段弧围成的图形叫扇形，其面积 $S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{1}{2}lR.$

例：半径 $R=6$、圆心角 $n=120^{\circ }$ 的扇形， $l=\frac{120\pi \times 6}{180}=4\pi ,S=\frac{120\pi \times 6^2}{360}=12\pi .$ 用 $S=\frac{1}{2}lR$ 验算：$\frac{1}{2}\times 4\pi \times 6=12\pi$，结果一致。

易错：弧长公式的分母是 180，扇形面积公式的分母是 360；两个公式里的 $n$ 都是圆心角的度数，不是弧度。

本章的三条主线结论

1. 圆的问题化归直角三角形：连半径、作弦心距，用 $R^2=d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ 连接半径、弦长与距离。
2. 圆心角、弧、弦同进同退：在同圆或等圆中，三者中任意一组相等，其余两组也相等；圆周角始终是所对圆心角的一半。
3. 圆内接四边形对角互补：由此得到外角等于内对角，正多边形则是把圆 $n$ 等分的结果。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 半径为 5 的圆中，最长的弦长是多少？——直径，长为 10
2. 弦 $AB=8$，半径 $OA=5$，圆心到 $AB$ 的距离是多少？——$\sqrt{5^2-4^2}=3$
3. 圆心角为 $90^{\circ }$、半径为 4 的弧长是多少？——$\frac{90\pi \times 4}{180}=2\pi$
4. 圆内接四边形 $ABCD$ 中 $\angle A=85^{\circ }$，求 $\angle C$。——$180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$
5. 正八边形的中心角是多少度？——$\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$
6. 直径所对的圆周角是多少度？——$90^{\circ }$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、3 题出错，说明弦心距与弧长公式还需再练。

学完本章之后

本章建立圆的基本语言，后续继续深入：

• 九年级下册第2章《直线与圆的位置关系》：用 $d$ 与 $r$ 的关系研究相切，切线与弦长计算常回到垂径定理
• 高中《圆与方程》：用方程研究圆，把几何条件转化为代数关系
• 实际应用：圆弧形拱桥、弯道设计、扇形花坛的用料计算

把“见弦作弦心距、见直径想直角、见圆内接四边形想对角互补”做成条件反射，圆的角度与长度计算就有了固定入口。