浙教版九年级上册第4章《相似三角形》教材同步学习指南

定义

四条线段 $a$、$b$、$c$、$d$ 中，如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$ 那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段。

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫相似三角形，对应边的比叫相似比。相似三角形用符号 $\sim$ 表示，如 $△ABC\sim △DEF$，此时 $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k,$ 其中 $k$ 是相似比，并且 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 比例线段	比例式与乘积式互化，求比例中项	会用 $ad=bc$ 与 $b^2=ac$
4.2 由平行线截得的比例线段	在平行线中找对应线段	会用平行线转移比例
4.3 相似三角形	认识相似三角形与相似比	会按对应顺序写相似式
4.4 两个三角形相似的判定	选择 AA、SAS、SSS 判定相似	会排除 SSA 的干扰
4.5 相似三角形的性质及其应用	用相似比求线段、周长、面积	会测量高度等实际问题
4.6 相似多边形	判断多边形相似并算周长面积	会用对应角与对应边双重条件
4.7 图形的位似	画位似图形，求对应点坐标	掌握位似比与两种位置

4.1 比例线段

比例的基本性质： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc(b\ne 0,d\ne 0).$ 如果 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$，即 $b^2=ac$，那么 $b$ 叫 $a$、$c$ 的比例中项。

例：已知线段 $a=2$，$c=8$，$b$ 是 $a$、$c$ 的比例中项，则 $b^2=2\times 8=16,$ 因为线段长度为正，所以 $b=4$。

把一条线段分成两部分，使其中较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，这个比约为 $0.618$，叫黄金比，这样的分割叫黄金分割。

易错：解 $b^2=ac$ 时不要漏掉“线段长度取正值”这一限制；比例式中的分母不能为 0。

4.2 由平行线截得的比例线段

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

例：在 $△ABC$ 中，$DE\parallel BC$，$D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，$AD=2$，$DB=3$，$AE=4$，求 $EC$。

由 $DE\parallel BC$ 得 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},$ 即 $\frac{2}{3}=\frac{4}{EC},$ 所以 $EC=6$。

易错：对应线段要按同一方向找。上比下对应上比下，即 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$；若写成 $\frac{AD}{AB}$，右边必须对应 $\frac{AE}{AC}$，不能混搭。

4.3 相似三角形

相似三角形的定义包含两个条件：对应角相等，对应边成比例。记两个三角形相似时，对应顶点要写在对应位置上，这样相似式本身就告诉了我们哪些边对应。

例：$△ABC\sim △DEF$，$AB=4$，$DE=6$，$BC=5$，求 $EF$。

相似比为 $\frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$ 于是 $\frac{BC}{EF}=\frac{2}{3},EF=5\times \frac{3}{2}=\mathrm{7.5.}$

易错：相似比有方向。$△ABC$ 与 $△DEF$ 的相似比是 $\frac{2}{3}$，而 $△DEF$ 与 $△ABC$ 的相似比是 $\frac{3}{2}$，写反会导致后续计算全部颠倒。

4.4 两个三角形相似的判定

判定方法汇总：

判定方法	条件	注意点
预备定理	平行于三角形一边的直线与其他两边相交	所得小三角形与原三角形相似
两角分别相等	两个角对应相等	最常用，第三角自然相等
两边成比例且夹角相等	两组对应边成比例，且夹角相等	角必须是两边的夹角
三边成比例	三组对应边都成比例	计算量较大
斜边、直角边成比例	两个直角三角形，斜边和一条直角边对应成比例	只适用于直角三角形

例：$△ABC$ 中 $\angle A=50^{\circ }$，$\angle B=60^{\circ }$；$△DEF$ 中 $\angle D=50^{\circ }$，$\angle E=70^{\circ }$。由三角形内角和得 $\angle F=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$，于是 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle F$，所以 $△ABC\sim △DEF$。

易错：两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定相似，这与全等三角形中 SSA 不成立是同一个道理。

4.5 相似三角形的性质及其应用

相似三角形的性质：

• 对应角相等，对应边成比例；
• 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；
• 周长比等于相似比；
• 面积比等于相似比的平方。

例：两个相似三角形的相似比为 $3:4$，较小三角形的面积为 18，求较大三角形的面积。

面积比为 $3^2:4^2=9:16$，设较大三角形面积为 $S$，则 $\frac{18}{S}=\frac{9}{16},$ 解得 $S=32$。

应用：同一时刻，太阳光线可看作平行光，物高与影长成正比。1.5 m 高的竹竿影长 2 m，同一时刻旗杆影长 16 m，则旗杆高 $h=\frac{1.5\times 16}{2}=12\text{m}.$

易错：面积比要平方，长度比不要平方。把面积比写成 $3:4$ 是最常见的失分点。

4.6 相似多边形

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，对应边的比叫相似比。相似多边形同样有：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

例：两个相似四边形的相似比为 $2:5$，则周长比为 $2:5$，面积比为 $4:25$。

反例：矩形 $2\times 3$ 与矩形 $4\times 5$ 的四个角都是 $90^{\circ }$，但 $\frac{2}{4}\ne \frac{3}{5},$ 对应边不成比例，所以这两个矩形不相似。这说明“对应角相等”只是相似的必要条件，不是充分条件。

易错：判断多边形相似必须同时检查对应角相等与对应边成比例。菱形与正方形对应边可以成比例，但对应角不一定相等，也不一定相似。

4.7 图形的位似

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。

位似图形一定是相似图形，其相似比也叫位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，面积比等于位似比的平方。

在平面直角坐标系中，以原点为位似中心、位似比为 $k$，若原图上一点的坐标为 $(x,y)$，则对应点的坐标为 $(kx,ky)\text{或}(-kx,-ky),$ 分别对应位似图形在位似中心同侧与异侧两种情形。

例：点 $A(1,2)$ 以原点为位似中心、位似比为 2，则对应点 $A^{\prime }$ 的坐标为 $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$。

易错：位似比给定后有两种位置，坐标要带正负号；位似中心不一定是原点，也不一定在两个图形之间。

本章的三条主线结论

1. 比例式与乘积式自由互化：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc$，这是所有比例计算的地基。
2. 判定看角与边的搭配：AA 最常用，SAS 的角必须是夹角，SSS 要三边全成比例。
3. 相似比一次方管长度、二次方管面积：周长比、对应线段比用一次方，面积比用平方。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 若 $3x=4y$，求 $x:y$。——$x:y=4:3$
2. 线段 $a=4$，$c=9$，$b$ 是 $a$、$c$ 的比例中项，求 $b$。——$b^2=36$，取正值 $b=6$
3. 两个相似三角形的相似比为 $2:3$，它们的周长比与面积比各是多少？——周长比 $2:3$，面积比 $4:9$
4. $△ABC$ 中 $DE\parallel BC$，$AD:DB=1:2$，$AE=3$，求 $EC$。——$\frac{1}{2}=\frac{3}{EC}$，得 $EC=6$
5. 两个角分别相等的两个三角形相似吗？——相似，这是 AA 判定
6. 以原点为位似中心、位似比为 $1:2$，点 $(2,4)$ 的对应点坐标是什么？——$(1,2)$ 或 $(-1,-2)$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、4 题出错，说明相似比与对应线段还需再练。

学完本章之后

本章把全等推广为相似，是初中几何的一次升级：

• 九年级下册第1章《解直角三角形》：直角三角形中的边角比，本质上是相似比的进一步量化
• 高中《三角函数》与《解析几何》：比例关系与坐标伸缩变换是位似思想的延续
• 实际应用：测量旗杆与楼高、地图比例尺、照片放大缩小

把“先定相似比—再找对应边—最后按一次方或二次方换算”做成顺序，相似三角形的计算题就能稳定得分。