浙教版七年级下册第3章《整式的乘除》教材同步学习指南

定义

幂的运算性质（$m$、$n$ 为正整数）：

$a^m\cdot a^n=a^{m+n},(a^m{)}^n=a^{mn},(ab{)}^n=a^n{b}^n.$

当 $a\ne 0$ 且 $m>n$ 时，$a^m÷a^n=a^{m-n}$；特别地，$a^0=1$（$a\ne 0$）。

整式乘法的基础是分配律：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，都是“逐项相乘，再合并同类项”。乘法公式是特殊的多项式乘法；整式除法是整式乘法的逆运算。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 同底数幂的乘法	掌握三条幂的运算性质	指数相加、相乘、分别乘方不混淆
3.2 单项式的乘法	单项式乘单项式、乘多项式	系数与同底数幂分别处理
3.3 多项式的乘法	逐项相乘再合并	不重不漏，符号正确
3.4 乘法公式	认结构、套公式	平方差与完全平方公式
3.5 整式的化简	先化简再求值	去括号、合并同类项
3.6 同底数幂的除法	指数相减，理解零指数	$a^0=1$（$a\ne 0$）
3.7 整式的除法	单项式除法与多项式除以单项式	逐项相除，用乘法检验

3.1 同底数幂的乘法

三条性质要分清对象：

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；
• 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(a^m{)}^n=a^{mn}$；
• 积的乘方，等于各因式分别乘方：$(ab{)}^n=a^n{b}^n$。

例：

$a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7,(a^3{)}^4=a^{3\times 4}=a^{12},(2a{)}^3=2^3{a}^3=8a^3.$

数值验算：$2^3\cdot 2^4=8\times 16=128=2^7$。

易错：$a^3\cdot a^4$ 的指数相加，不是相乘；$a^3+a^4$ 不是同底数幂相乘，不能合并成 $a^7$；$(2a{)}^3$ 的系数 2 也要立方。

3.2 单项式的乘法

单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。

单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 $m(a+b+c)=ma+mb+mc$。

例：

$(2x^{2}y)(-3x{y}^2)=2\times (-3)\cdot x^{2+1}\cdot y^{1+2}=-6x^3{y}^3,$

$-2a(3a^2-4a+1)=-6a^3+8a^2-2a.$

第一题系数 $2\times (-3)=-6$，字母 $x$ 的指数 $2+1=3$，$y$ 的指数 $1+2=3$；第二题逐项相乘，注意负号。

易错：系数漏乘或符号出错；同底数幂指数相加误为相乘；单项式乘多项式漏乘最后一项，负号只作用于第一项。

3.3 多项式的乘法

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加：

$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.$

例：

$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6.$

取 $x=1$ 验算：左边 $(1+2)(1+3)=3\times 4=12$，右边 $1+5+6=12$，结果一致。

再如：

$(2a-b)(a+3b)=2a^2+6ab-ab-3b^2=2a^2+5ab-3b^2.$

易错：两个二项式相乘应得到四项（合并前），只算 $am+bn$ 会漏项；括号前有负号时，展开后每一项都要变号；合并同类项时系数算错。

3.4 乘法公式

公式	结构特征	结果
平方差公式	两数和乘两数差	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
完全平方公式	两数和或差的平方	$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

例：

$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9,$

$(2a-3{)}^2=(2a{)}^2-2\cdot 2a\cdot 3+3^2=4a^2-12a+9.$

取 $a=2$ 验算第二式：左边 $(4-3{)}^2=1$，右边 $16-24+9=1$，结果一致。

易错：$(a+b{)}^2$ 漏掉中间项 $2ab$，写成 $a^2+b^2$；$(a-b{)}^2$ 的中间项是 $-2ab$，不是 $+2ab$；系数也要平方，$(2a{)}^2=4a^2$。

3.5 整式的化简

化简的顺序：先算乘方、乘法，再去括号，最后合并同类项。化简完成后再代入数值，比直接代入更不容易出错。

例：化简 $(x+2{)}^2-(x+1)(x-1)$，并求 $x=-2$ 时的值。

$(x+2{)}^2-(x+1)(x-1)=(x^2+4x+4)-(x^2-1)=4x+5.$

当 $x=-2$ 时，原式 $=4\times (-2)+5=-3$。

直接验算：$x=-2$ 时，$(0{)}^2-(-1)(-3)=0-3=-3$，与化简后的结果一致。

易错：去括号时只变第一项的符号，$-(x^2-1)$ 应得 $-x^2+1$；完全平方展开漏中间项；先代入再展开，计算量大且容易算错。

3.6 同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m÷a^n=a^{m-n}(a\ne 0,m>n).$

特别地，当 $m=n$ 时，

$a^m÷a^m=a^0=1(a\ne 0).$

例：

$a^6÷a^2=a^{6-2}=a^4,(x^3{)}^2÷x^4=x^6÷x^4=x^2,(-2{)}^0=1.$

易错：$a^m÷a^n$ 的指数相减，不是相除；$0^0$ 没有意义，$a^0=1$ 必须带上 $a\ne 0$；同底数幂相除与同底数幂相减是两回事。

3.7 整式的除法

单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数不变。

多项式除以单项式：把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把商相加。

例：

$6a^3{b}^2÷2ab=3a^{2}b,$

$(4x^3-6x^2+2x)÷2x=2x^2-3x+1.$

检验：$3a^{2}b\cdot 2ab=6a^3{b}^2$；$2x(2x^2-3x+1)=4x^3-6x^2+2x$，都还原成被除式。

易错：多项式除以单项式时只除第一项，漏掉后面的项，尤其常数项；系数相除与指数相减混用；除完后不检验。

本章的三条主线结论

1. 幂的运算是基础：同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，积的乘方各因式分别乘方。
2. 乘法公式看结构：平方差是“和乘差”，完全平方是“二项式的平方”，结果三项。
3. 除法用乘法检验：单项式除法看系数与指数，多项式除以单项式要逐项相除。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $a^5\cdot a^3$ 等于多少？——$a^8$
2. $(2x^2{)}^3$ 等于多少？——$8x^6$
3. $(x+4)(x-4)$ 等于多少？——$x^2-16$
4. $(3a-b{)}^2$ 等于多少？——$9a^2-6ab+b^2$
5. $x^8÷x^3$ 等于多少？——$x^5$
6. $(6x^3-4x^2)÷2x$ 等于多少？——$3x^2-2x$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、4 题出错，说明积的乘方与完全平方公式的系数还需再练。

学完本章之后

本章是整式运算的中心环节，前后联系都很紧：

• 第4章《因式分解》：把乘法公式反过来用，就得到平方差、完全平方的分解方法；
• 第5章《分式》：约分、通分需要熟练的因式分解与整式乘除；
• 高中《指数函数与对数函数》：幂的运算推广到实数指数，运算法则仍然一致。

把“先看运算类型、再定指数处理、最后合并检验”变成习惯，整式乘除就不会在符号和指数上丢分。