正多边形与圆

推导

正多边形有外接圆：以正五边形为例，过相邻三顶点 $A、B、C$ 作圆（三点定圆），圆心 $O$。由 $AB=BC$、$OA=OB=OC$，$△OAB$ 与 $△OBC$ 满足 SSS 全等，故 $\angle OBA=\angle OBC$；再利用各边相等、各角相等，用 SAS 逐个证明下一个顶点到 $O$ 的距离也等于 $R$，故所有顶点共圆。$■$

由于到各边距离也相等（全等三角形对应高），该圆同时是内切圆，两圆同心。

边长与半径的关系：取相邻顶点 $A、B$，作 $OM\perp AB$ 于 $M$。$△OAB$ 是等腰三角形，$OM$ 三线合一，平分中心角与底边：

$\angle AOM=\frac{1}{2}\cdot \frac{360^{\circ }}{n}=\frac{180^{\circ }}{n},AM=\frac{a}{2}$

在 Rt$△OAM$ 中：

$\sin \frac{180^{\circ }}{n}=\frac{a/2}{R}⟹a=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}$

$\cos \frac{180^{\circ }}{n}=\frac{r}{R}⟹r=R\cos \frac{180^{\circ }}{n}■$

且 $R^2=r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$（勾股定理）。

面积：正 $n$ 边形被半径分成 $n$ 个全等等腰三角形，每个面积 $\frac{1}{2}ar$：

$S=n\cdot \frac{1}{2}ar=\frac{1}{2}\cdot na\cdot r=\frac{1}{2}\times \text{周长}\times \text{边心距}$

正六边形特例：中心角 $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$，$△OAB$ 是等边三角形，故 $a=R$，$r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。

典例精析

例 1（内接正三角形）求半径为 $R$ 的圆内接正三角形的边长、边心距和面积。

$n=3$：中心角 $120^{\circ }$，半中心角 $60^{\circ }$。

$a=2R\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}R,r=R\cos 60^{\circ }=\frac{R}{2}$

$S=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot r=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{3}R\times \frac{R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$

例 2（内接正方形）求半径为 $R$ 的圆内接正方形的边长、边心距和面积。

$n=4$：中心角 $90^{\circ }$，半中心角 $45^{\circ }$。

$a=2R\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}R,r=R\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}R$

$S=\frac{1}{2}\times 周长\times 边心距=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}R\times \frac{\sqrt{2}}{2}R=2R^2$

（正方形面积也可直接 $a^2=(\sqrt{2}R{)}^2=2R^2$，两者一致。）

对比

与其他知识的联系

• 圆心角、弧、弦：正多边形的中心角正是把圆周 $360^{\circ }$ 均分 $n$ 份得到的圆心角，正多边形的外接圆是圆与正多边形的纽带。
• 等腰三角形的性质与判定：正多边形被半径分成 $n$ 个全等等腰三角形，“三线合一”是推导边心距平分中心角的关键。
• 勾股定理与锐角三角函数：边长 $a$、边心距 $r$、半径 $R$ 构成直角三角形，$a=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}$、$r=R\cos \frac{180^{\circ }}{n}$ 正是解直角三角形的结果。
• 确定圆的条件：正多边形”各顶点共圆”的证明用”过三点确定唯一圆”，说明正多边形必有外接圆（且同时有内切圆）。