平行与垂直

为什么必须强调「同一平面内」

「不相交」听起来已经说清楚了，为什么还要加「在同一平面内」？

因为到了空间中，两条直线可能既不相交，也不平行。拿一个长方体来看：一条棱和与它不相邻的另一条棱，常常既碰不到一起，方向也不一致。它们不在同一平面内，不能叫平行线。

所以小学阶段给平行下定义时，先把讨论范围限定在「同一平面内」。在这个范围里，两条直线只有两种位置关系：相交或平行。垂直则是相交里的一种特殊情况。

平行与垂直的关系

可以把两条直线的位置关系画成一棵树：

• 同一平面内的两条直线
  • 不相交：互相平行
  • 相交
    • 相交成直角：互相垂直
    • 相交不成直角：普通相交

由此得到两个结论：

1. 垂直是相交的特殊情况，不是和相交并列的另一类。
2. 平行和垂直是两种不同的关系：平行没有交点，垂直有一个交点。

还要注意：判断两条线段是否平行，不能只看画出来的部分。线段是直线的一部分，要把它们延长后看是否相交，才能下结论。

用三角尺画平行线、画垂线

画平行线用「一贴、二靠、三移、四画」：

1. 一贴：把三角尺的一条直角边贴在已知直线上。
2. 二靠：把直尺靠紧三角尺的另一条直角边。
3. 三移：沿直尺平移三角尺，到需要的位置。
4. 四画：沿三角尺原来贴直线的边画出平行线。

画垂线用「一贴、二移、三画」：

1. 一贴：把三角尺的一条直角边贴在已知直线上。
2. 二移：沿直线平移三角尺，让另一条直角边经过指定的点。
3. 三画：沿另一条直角边画线，并在交点处标上直角符号。

画垂线的详细步骤，可以继续看「怎样画垂线」一页。

典例精析

例 1 黑板的两组对边分别是什么关系？相邻的两条边呢？

黑板相对的两条边在同一平面内，延长后也不会相交，所以互相平行；相邻的两条边相交成直角，所以互相垂直。

例 2 同一平面内，直线 $a$ 和直线 $b$ 都垂直于直线 $c$。直线 $a$ 与 $b$ 是什么关系？

$a$ 与 $b$ 都垂直于 $c$，它们与 $c$ 的夹角都是直角。在同一平面内，这样的两条直线方向相同，永远不会相交，所以 $a\parallel b$。

例 3 判断：两条直线不相交，就一定互相平行。

错。必须先保证这两条直线在同一平面内。在空间中，存在既不相交也不平行的两条直线。小学阶段讨论平行时，题目通常默认在同一平面内，但「不相交就一定平行」这句话本身不完整。

例 4 长方形 ABCD 中，哪些边互相平行？哪些边互相垂直？

AB 与 CD 互相平行，AD 与 BC 互相平行；AB 与 AD、AB 与 BC、CD 与 AD、CD 与 BC 都互相垂直。长方形有两组对边平行、四个角都是直角，所以邻边都垂直。

例 5 小明画平行线时，只用眼睛看两条线「差不多宽」，这样画可以吗？

不可以。眼睛判断不可靠，两条线可能一头宽一头窄，延长后会相交。正确方法是用三角尺和直尺配合，通过平移来保证方向一致。

辨析与提醒

• 先看是否同一平面：这是平行定义的前提，不能漏。
• 垂直是相交的一种：垂直一定有交点，交点是垂足。
• 平行线是直线：不是曲线，也不是线段；两条弯曲的线看起来等距，也不是平行线。
• 线段要延长再判断：画出的线段不相交，不代表它们所在的直线不相交。
• 画图要用工具：凭眼睛画平行线、垂线都不可靠，三角尺和直尺配合才准确。
• 直角符号要标：画完垂线在交点处标直角符号，别人才能确认是垂直关系。

跨学段衔接

四年级上册先在同一平面内认识平行与垂直，接着学习画垂线、点到直线的距离、画平行线和平行线之间的距离，再用这些知识认识平行四边形和梯形：平行四边形的两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行。

到七年级下册，平行线会升级为「判定与性质」：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，可以用来判定两条直线平行；反过来，已知平行又能推出这些角的关系。垂直则会在三角形的高、线段的垂直平分线、角平分线中反复出现。小学打下的「同一平面内」和「直角」两个前提，是初中几何推理的起点。

课堂提示

• 本页难点：理解平行定义中「同一平面内」的必要性，以及垂直是相交的特殊情况。
• 一句提问：两条直线不相交，就一定是平行线吗？还需要什么条件？
• 板书/操作：用两根小棒在桌面上摆出平行、相交、垂直三种情况；再把其中一根抬离桌面，让学生观察「不相交但也不平行」的情形。
• 易错题型：判断题「不相交的两条直线一定平行」；选择题「下面哪组直线互相垂直」；画图题「过直线外一点画已知直线的平行线」；长方形中的平行与垂直计数。
• 课堂活动：让学生找教室里的平行线和垂线，并说明判断依据，避免只凭「看起来像」。