北师大版四年级上册第二单元《线与角》教材同步学习指南

定义

本单元研究两种最基本的几何对象：线和角。线分三种，角由两条射线组成，两者又通过「相交」与「平行」联系起来。

线段：直线上两点之间的一段，有两个端点，长度有限，可以度量。可以用直尺量出它有多少厘米。

射线：把线段的一端无限延长，就得到射线。射线只有一个端点，向一端无限延伸，不能量长度。

直线：把线段的两端都无限延长，就得到直线。直线没有端点，向两端无限延伸，不能量长度。

角：从一点引出两条射线所组成的图形。这个点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角的大小用「度」作单位，如 $60^{\circ }$ 读作六十度。

平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，交点叫垂足。

角的分类：锐角小于 $90^{\circ }$，直角等于 $90^{\circ }$，钝角大于 $90^{\circ }$ 且小于 $180^{\circ }$，平角等于 $180^{\circ }$，周角等于 $360^{\circ }$。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
线段、射线、直线	分清端点个数和能否度量	会用字母表示三种线
相交与垂直	认识垂足，画垂线	会用三角尺画垂线
平移与平行	用平移的方法画平行线	会判断、会画平行线
角的度量	认识量角器，学会读数	能量出任意角的度数
画角	按指定度数画角	会用量角器画角
角的分类	按度数给角分类	分清锐角、直角、钝角、平角、周角

先认清三种线的区别，才能正确画角；先会量角，画角才有标准；平行与垂直是两条直线最重要的两种位置关系。

线段、射线和直线

三种线放在一起对比，区别一目了然：

名称	端点个数	能否延伸	能否量长度	表示方法
线段	2 个	不能延伸	能	线段 AB
射线	1 个	向一端无限延伸	不能	射线 AB（A 为端点）
直线	0 个	向两端无限延伸	不能	直线 AB 或直线 l

例：在纸上点两个点 A、B，用直尺连接，得到线段 AB，量得长 5 厘米。把线段 AB 从 B 端向外延长，得到射线 AB；把两端都延长，得到直线 AB。

易错：直线和射线都无法量出长度，题目里出现「长 8 厘米的直线」一定是错的。只有线段才能说长度。

角的度量

量角的工具是量角器。把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角就是 $1^{\circ }$。

量角三步：

1. 量角器的中心点与角的顶点重合；
2. 0 刻度线与角的一条边重合；
3. 看另一条边落在哪一条刻度线上，读出度数。

例：$\angle AOB$ 的一条边 OA 对着内圈 0 刻度线，另一条边 OB 落在内圈 $60^{\circ }$ 的刻度上，所以 $\angle AOB=60^{\circ }$。如果 OB 落在内圈 $120^{\circ }$ 处，这个角就是 $120^{\circ }$。

内外圈有两排数字，从 0 到 180 各有一圈。0 刻度线对着哪一圈，就读哪一圈，这是避免读错的关键。

易错：$120^{\circ }$ 的角，外圈读数常是 $60^{\circ }$。如果 0 刻度线对的是内圈，却去读外圈，就会把钝角读成锐角。

画角

画一个 $65^{\circ }$ 的角，可以按下面四步操作：

1. 画一条射线 OA，作为角的一条边；
2. 量角器中心点对准 O，0 刻度线对准 OA；
3. 在量角器 $65^{\circ }$ 的刻度处点一个点 B；
4. 连接 OB，标上 $65^{\circ }$，$\angle AOB$ 就是所求的角。

画完要检验：用量角器再量一次，看度数是否等于 $65^{\circ }$；角的开口方向要与题目要求一致。

一副三角尺也能帮忙。两块三角尺的角分别是 $30^{\circ }$、$60^{\circ }$、$90^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$、$45^{\circ }$、$90^{\circ }$。把两个角拼在一起，可以得到 $75^{\circ }=30^{\circ }+45^{\circ }$、$105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ }$、$120^{\circ }=30^{\circ }+90^{\circ }$、$135^{\circ }=45^{\circ }+90^{\circ }$、$150^{\circ }=60^{\circ }+90^{\circ }$。

易错：画角时先画射线再定点，顺序不能反；定点时要看清刻度，不要把 $65^{\circ }$ 点成 $115^{\circ }$。

平行与垂直

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

垂直是相交的特殊情况：两条直线相交成直角。画垂线时，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过指定点，沿这条边画线即可。

平行：在同一平面内不相交的两条直线。画平行线可以用直尺和三角尺：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠三角尺的另一条边，沿直尺平移三角尺，最后沿三角尺的边画线。

从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。

例：在方格纸上，水平方向的格线和竖直方向的格线互相垂直；同一方向上相邻的两条格线互相平行。

易错：判断平行不能只看「没有相交」，还要强调「在同一平面内」。教室天花板上的横梁与地面上一条与它方向不同的线，既不相交也不平行，因为它们不在同一平面内。

角的分类

按度数给角分类：

角的名称	度数范围	例子
锐角	大于 $0^{\circ }$ 小于 $90^{\circ }$	$30^{\circ }$、$65^{\circ }$
直角	等于 $90^{\circ }$	三角尺上的直角
钝角	大于 $90^{\circ }$ 小于 $180^{\circ }$	$120^{\circ }$、$150^{\circ }$
平角	等于 $180^{\circ }$	一条直线上的两个直角合起来
周角	等于 $360^{\circ }$	射线旋转一周

由此得到：$1$ 平角 $=2$ 直角，$1$ 周角 $=2$ 平角 $=4$ 直角。

例：一个平角被分成两个角，其中一个角是 $48^{\circ }$，另一个角是 $180^{\circ }-48^{\circ }=132^{\circ }$，是一个钝角。

易错：角的大小与两条边画得长短无关。把 $30^{\circ }$ 的角的两条边延长，它仍然是 $30^{\circ }$。

本章的三条主线结论

1. 端点决定能否度量：线段有两个端点，能量长度；射线、直线无限延伸，不能量长度。
2. 量角与画角是一对互逆操作：量角是「先重合、再读数」，画角是「先画边、再定点」，0 刻度线始终是基准。
3. 平行与垂直描述两条直线的位置关系：垂直看是否成直角，平行看是否在同一平面内不相交。

最易错：把直线当线段量长度；量角时内外圈读反；角的大小与边的长短混淆。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 判断：一条直线长 8 厘米。——错，直线不能量长度。
2. 角的一条边对着量角器内圈 0 刻度线，另一条边落在内圈 $120^{\circ }$ 处，这个角是多少度？——$120^{\circ }$，是钝角。
3. 用一副三角尺拼出一个 $75^{\circ }$ 的角，怎样拼？——$30^{\circ }$ 与 $45^{\circ }$ 拼在一起。
4. 一个平角分成两个角，其中一个角是 $48^{\circ }$，另一个角是多少度？——$180^{\circ }-48^{\circ }=132^{\circ }$。
5. 同一平面内两条直线不相交，它们是什么关系？——互相平行。
6. 过直线外一点画已知直线的垂线，可以画几条？——1 条。

第 1 题出错说明三种线的特征没分清；第 2 题出错说明量角器内外圈不会选；第 3 题出错说明三角尺的角不熟；第 4 题出错说明平角是 $180^{\circ }$ 没记住；第 5、6 题出错说明平行与垂直的概念不清。

课堂提示

• 本页难点：量角器内外圈读数、角的大小与边长无关。
• 一句提问：把角的两条边画得更长，这个角变大了吗？
• 板书/操作：在黑板上画一条直线，请学生用三角尺过直线外一点画垂线；再用两个三角尺拼出 $105^{\circ }$，让全班量一量验证。

学完本章之后

• 本册第四单元《我们生活的空间（二）》：从不同方向观察立体图形，仍然要用到「面」和「视图」的眼光。
• 四年级下册《认识三角形和四边形》：三角形的分类、内角和，都要以角的度量和分类为基础。
• 五年级上册《多边形的面积》：平行四边形、三角形、梯形的高，就是垂直线段。
• 生活应用：装修时画垂线、铺地砖找平行线、测量斜坡的倾斜角，都离不开线与角。

一句口诀收尾：线段两端点，射线一端延，直线无穷远；量角对零线，内外要分辨；平行同平面，垂直成直角。