浙教版八年级上册第1章《三角形的初步知识》教材同步学习指南

定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。三角形任意两边之和大于第三边，三个内角的和等于 $180^{\circ }$。

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作 $△ABC\cong △DEF$，写在对应位置上的顶点叫对应顶点。全等三角形的对应边相等、对应角相等。

本章主线：边角关系 → 命题与证明 → 全等三角形 → 垂直平分线与角平分线。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 认识三角形	用三边关系、内角和与外角研究三角形	会判断三条线段能否组成三角形，会画高、中线、角平分线
1.2 定义与命题	分清定义、命题、真命题与假命题	会把命题写成“如果……那么……”，会用反例
1.3 证明	按“已知、求证、证明”写推理	会证明三角形内角和定理与外角性质
1.4 全等三角形	认识对应关系与全等性质	会用全等推出对应边、对应角相等
1.5 三角形全等的判定	掌握 SSS、SAS、ASA、AAS	会找隐含条件完成证明
1.6 线段垂直平分线的性质	用距离相等转化线段	会正反使用性质定理解题
1.7 角平分线的性质	用点到角两边距离相等	会把角平分线条件转化为垂线段相等

1.1 认识三角形

三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两边长为 $a$、$b$，第三边 $c$ 的取值范围是 $|a-b|<c<a+b.$

三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此外角大于任何一个与它不相邻的内角。

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高；连接顶点与对边中点的线段叫中线；三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫角平分线。三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。

例：等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，求周长。若腰长为 5，则 $5+5<11$，不能组成三角形；所以腰长为 11，周长为 $11+11+5=27$。

易错：给出的两边没有说明哪条是腰，必须分类讨论，并用三边关系检验；高不一定落在三角形内部，钝角三角形有两条高在形外。

1.2 定义与命题

对名称或术语的含义加以描述、作出明确规定的句子叫定义。判断一件事情的句子叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。

命题常写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。要说明一个命题是假命题，只需举出一个满足条件却不满足结论的例子，叫反例。

例：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题。“如果 $a^2=b^2$，那么 $a=b$”是假命题，反例：$a=1$、$b=-1$ 时 $a^2=b^2$，但 $a\ne b$。

易错：疑问句、作图语句、感叹句都不是命题；“相等的角是对顶角”是假命题，反例是角平分线分出的两个相等角。

1.3 证明

从命题的条件出发，根据定义、基本事实和已经证明的定理，一步一步推出结论，这样的推理过程叫证明。证明通常先写“已知”“求证”，再写“证明”，每一步都要有依据。

三角形内角和定理的证明：过 $△ABC$ 的顶点 $A$ 作 $DE\parallel BC$，则 $\angle DAB=\angle B$，$\angle EAC=\angle C$（两直线平行，内错角相等）。因为 $\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180^{\circ }$，所以 $\angle B+\angle BAC+\angle C=180^{\circ }$。由此还可推出：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例：在 $△ABC$ 中，$\angle B=40^{\circ }$，$\angle C=70^{\circ }$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，求 $\angle ADC$。由内角和得 $\angle BAC=70^{\circ }$，所以 $\angle BAD=35^{\circ }$。由外角性质，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=40^{\circ }+35^{\circ }=75^{\circ }$。

易错：辅助线 $DE\parallel BC$ 必须写进证明，由平行推出角相等时要点明依据，不能把“内错角相等”当成已知。

1.4 全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。记两个三角形全等时，对应顶点的字母要写在对应位置上，如 $△ABC\cong △DEF$ 表示 $A$ 与 $D$、$B$ 与 $E$、$C$ 与 $F$ 分别对应。

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；对应边上的高、中线、对应角的平分线也相等，周长与面积分别相等。

例：已知 $△ABC\cong △DEF$，$\angle A=50^{\circ }$，$\angle B=60^{\circ }$，$AB=5$。则 $\angle C=180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$，所以 $\angle F=\angle C=70^{\circ }$；$DE=AB=5$。

易错：$△ABC\cong △DEF$ 中 $AB$ 的对应边是 $DE$，不是 $EF$；顺序写乱会让后续对应关系全部出错。

1.5 三角形全等的判定

判定两个三角形全等的方法：

判定	条件
SSS	三边分别相等
SAS	两边及其夹角分别相等
ASA	两角及其夹边分别相等
AAS	两角及其中一角的对边分别相等

两边及其中一边的对角分别相等（SSA）不能判定全等；三个角分别相等（AAA）只能得到形状相同，不能保证大小相同。

证题时先看已知给了哪些边、角，再找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、同角的余角或补角相等。若已知两角，通常再找一条边；若已知两边，通常再找夹角。

例：点 $B$、$E$、$C$、$F$ 在同一条直线上，$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$BE=CF$。求证 $△ABC\cong △DEF$。由 $BE=CF$ 得 $BE+EC=CF+EC$，即 $BC=EF$。在 $△ABC$ 与 $△DEF$ 中，$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$BC=EF$，所以 $△ABC\cong △DEF$（SAS），从而 $AC=DF$。

易错：$BE=CF$ 不是三角形的边，必须先都加上 $EC$ 转化为 $BC=EF$，否则只找到两组条件，无法用 SAS。

1.6 线段垂直平分线的性质

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线。

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。

例：在 $△ABC$ 中，$AB=AC=10$，$BC=6$，$AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于 $D$，交 $AC$ 于 $E$，求 $△BCE$ 的周长。因为 $E$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，所以 $EA=EB$。于是 $EB+EC+BC=EA+EC+BC=AC+BC=10+6=16.$

易错：由“$E$ 在 $AB$ 的垂直平分线上”才能得 $EA=EB$；只知道 $DE\perp AB$ 或 $D$ 是 $AB$ 中点，都不足以推出 $EA=EB$，必须同时具备垂直与平分。

1.7 角平分线的性质

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

这里的“距离”是点到直线的垂线段长度，不是任意一条斜线段。

例：在 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE\perp AB$ 于 $E$，$CD=3$，$AB=10$，求 $△ABD$ 的面积。因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DC\perp AC$，$DE\perp AB$，所以 $DE=DC=3$。于是 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DE=\frac{1}{2}\times 10\times 3=15.$

易错：使用判定定理时点必须在角的内部；使用性质定理时两条垂线段要分别垂直于角的两边，少画一条垂线就不能直接用。

本章的三条主线结论

1. 边角互化：三边关系定范围，内角和与外角性质定角度，高、中线、角平分线提供线段与面积关系。
2. 证明要有依据：定义、基本事实、定理逐条引用；说明命题为假，举一个反例即可。
3. 全等是核心工具：判定靠三组条件，性质提供对应边、角相等；垂直平分线与角平分线则把“距离相等”转化为线段相等。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 三边长 4、6、11 能否组成三角形？——不能，因为 $4+6<11$。
2. 等腰三角形两边长为 5 和 11，周长是多少？——27。
3. “若 $a^2=b^2$，则 $a=b$”是真命题吗？——假命题，反例 $a=1$、$b=-1$。
4. 已知 $△ABC\cong △DEF$，$\angle A=50^{\circ }$，$\angle B=60^{\circ }$，求 $\angle F$。——$70^{\circ }$。
5. 已知 $AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$BE=CF$，判定 $△ABC\cong △DEF$ 的依据是什么？——SAS，先由 $BE=CF$ 得 $BC=EF$。
6. 在 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE\perp AB$ 于 $E$，$CD=3$，$AB=10$，求 $△ABD$ 的面积。——15。

答对 5 题以上，本章基本过关；第 5、6 题出错，说明全等判定与角平分线性质还需再练。

学完本章之后

• 第2章《特殊三角形》：用全等证明等腰三角形的性质与判定，用轴对称解释“三线合一”。
• 八年级下册《平行四边形》：平行四边形、特殊平行四边形的性质与判定，仍以三角形全等为主要工具。
• 高中《解三角形》与《立体几何》：三边关系推广为正弦定理、余弦定理，全等与相似思想延伸到空间图形。