苏科版八年级上册第1章《三角形》教材同步学习指南

定义

本章是初中几何证明的第一个完整体系。主线是：三角形的边角关系 → 全等三角形 → 全等的判定 → 垂直平分线与角平分线 → 等腰三角形。

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三个内角的和等于 $180^{\circ }$；一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

学习顺序

小节	核心任务	关键结论
1.1 三角形中的线段和角	认识三边关系、内角、外角、高、中线、角平分线	三边关系；内角和 $180^{\circ }$
1.2 全等三角形	理解全等与对应关系	对应边相等、对应角相等
1.3 全等三角形的判定	用条件判定全等	SSS、SAS、ASA、AAS、HL
1.4 线段垂直平分线与角平分线	用距离相等刻画点的轨迹	性质与判定互为逆命题
1.5 等腰三角形	研究等边对等角、三线合一	等角对等边；三线合一

1.1 三角形中的线段和角

三角形三边关系：

$a+b>c,a+c>b,b+c>a.$

三角形内角和定理：

$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }.$

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形中的三条重要线段：

• 高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；
• 中线：连接顶点与对边中点的线段；
• 角平分线：平分三角形一个内角的射线与对边相交，顶点与交点之间的线段。

1.2 全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。

书写全等时，对应顶点要写在对应位置。例如 $△ABC\cong △DEF$ 表示 $A$ 与 $D$、$B$ 与 $E$、$C$ 与 $F$ 分别对应。

1.3 全等三角形的判定

常用判定方法：

方法	条件
SSS	三边分别相等
SAS	两边及其夹角分别相等
ASA	两角及其夹边分别相等
AAS	两角及其中一角的对边分别相等
HL	斜边和一条直角边分别相等（仅限直角三角形）

注意：SSA 和 AAA 不能判定全等。AAA 只能说明形状相同，大小不一定相同；SSA 可能对应两个不同的三角形。

例：已知 $AB=AD$，$\angle BAC=\angle DAC$，求证 $△ABC\cong △ADC$。

在 $△ABC$ 和 $△ADC$ 中，

$AB=AD,\angle BAC=\angle DAC,AC=AC,$

由 SAS 得 $△ABC\cong △ADC$。

1.4 线段垂直平分线与角平分线

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反过来，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

这两个结论都是“性质定理 + 判定定理”的成对结构，使用时要注意点在线上或点在角内部的前提。

1.5 等腰三角形

等腰三角形两腰相等，两底角相等，简称“等边对等角”。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。

等边三角形是特殊的等腰三角形，三边相等，三个角都等于 $60^{\circ }$。有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形。

例：等腰三角形两边长为 3 和 6，求周长。

若腰长为 3，则三边为 3、3、6，但 $3+3=6$，不能组成三角形；若腰长为 6，则三边为 6、6、3，满足三边关系，周长为 $6+6+3=15$。

本章的三条主线结论

1. 全等是几何证明的核心工具：证明线段相等、角相等，常先找全等三角形
2. 判定方法要记全，也要记反例：SSA、AAA 不能判定全等
3. 等腰三角形要分类讨论：已知两边或一角时，先判断哪条是腰、哪个是顶角

自测

先自己完成，再看答案：

1. 三角形两边为 5 和 8，第三边 $x$ 的范围是什么？——$3<x<13$
2. 三角形两内角为 $50^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$，第三个角是多少？——$70^{\circ }$
3. 判定全等的方法写出四种。——SSS、SAS、ASA、AAS
4. 线段垂直平分线上的点有什么性质？——到线段两端距离相等
5. 等腰三角形顶角为 $40^{\circ }$，底角是多少？——$70^{\circ }$
6. 等腰三角形两边为 4 和 9，周长是多少？——腰长为 9，周长为 22

答对 5 题以上，本章基本过关；第 6 题出错，说明分类讨论和三边关系检验还不熟练。

学完本章之后

本章是初中几何证明的主干：

• 第2章《实数的初步认识》：勾股定理与全等结合，会产生无理数；
• 第3章《勾股定理》：直角三角形全等的 HL 判定直接用于勾股定理证明；
• 八年级下册《四边形》：平行四边形、特殊四边形的性质都通过全等三角形证明。

把“找全等、写对应、用性质”练成固定动作，几何证明就有了稳定的起点。