塞瓦定理模型：三线共点的比例判定

求解策略

1. 认三线：确认三条线段从顶点出发交对边
2. 写比例：按顺时针（或逆时针）写出三边比例
3. 验乘积：比例乘积等于 1 则共点，共点则乘积为 1
4. 求比例：已知共点，用塞瓦反求某段比例

模型结构

如图，三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $CA$ 上、$F$ 在 $AB$ 上，$AD$、$BE$、$CF$ 三线共点于 $P$。

核心结论与推导

结论（塞瓦定理）：

$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$

推导（面积法）：三条线段共点于 $P$，则

$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{△ABP}}{S_{△ACP}},\frac{CE}{EA}=\frac{S_{△BCP}}{S_{△ABP}},\frac{AF}{FB}=\frac{S_{△ACP}}{S_{△BCP}}.$

三式相乘，分子分母两两约去：

$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{S_{△ABP}}{S_{△ACP}}\cdot \frac{S_{△BCP}}{S_{△ABP}}\cdot \frac{S_{△ACP}}{S_{△BCP}}=1.■$

典例精析

例：三角形 $ABC$ 中，$D$、$E$、$F$ 分别在 $BC$、$CA$、$AB$ 上，$BD:DC=2:3$，$CE:EA=3:4$。若 $AD$、$BE$、$CF$ 共点，求 $AF:FB$。

解：由塞瓦定理，

$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{AF}{FB}=1\Rightarrow \frac{AF}{FB}=2,$

即 $AF:FB=2:1$。

常见变式

1. 中线共点：三边中点满足塞瓦条件，三条中线共点于重心。
2. 角平分线共点：角平分线分对边比例等于邻边比，代入塞瓦验证共点于内心。
3. 高共点：三条高所在直线满足塞瓦条件，共点于垂心（钝角三角形的垂心在三角形外）。

对比与联系