利润最值母题：涨价降销量的二次函数决策
「涨价一元少卖几件」是中考利润最值的经典结构：总利润 = 单件差价 × 销量，展开为二次函数后配方求顶点，售价定在对称轴处。
某商品进价每件 元，售价每件 元时每天可售 件。市场调查发现：售价每上涨 元，每天销量减少 件。设售价上涨 元，每天利润为 元。(1) 求 与 的关系式；(2) 售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
答案：；售价定为 元时利润最大，最大利润 元。
前置知识
学这一页之前，建议先掌握以下内容；点开可查看对应的知识页。
适用前提与边界条件
- 利润 = 售价 − 进价，总利润 = 单件利润 × 销量
- 销量随售价线性变化（每涨 1 元少卖 10 件）
知识地图
一道题，3 条路。初中的工具轮番上场，每一步都只是旧知识的新组合。
解法① 配方法求顶点 初中
核心工具：多项式乘法、配方法
售价上涨 元后，单件利润为 元，销量为 件。
配方：
因为 ，所以 时 最大，为 元，售价 元。
点睛：配方的本质是「把杂乱的四则运算化归成一个平方加一个常数」，最值一眼可见。
体现思想：化归思想
解法② 顶点公式法 初中
核心工具：二次函数顶点公式
，其中 ，。抛物线开口向下，顶点横坐标：
代入得 元。售价 元时利润最大。
点睛：顶点公式是配方法的成品——用公式快，用配方稳，两者互为验算。
体现思想：数形结合
解法③ 列表观察对称性 初中
核心工具：二次函数的对称性、代入求值
抛物线的对称轴两侧等距处函数值相等。取 ：
- ： - ： - ：
与 关于 对称且值相等，可见对称轴在 ，此处取最大值 元。
点睛：不推导、只试数，利用对称性「夹」出顶点——考试时的快速验证法。
体现思想：函数思想、归纳思想
思想方法总结
七种解法看似不同，背后是同一套思想在反复起作用：
| 思想 | 出现在哪些解法 | 起什么作用 |
|---|---|---|
| 化归思想 | 配方法求顶点 | — |
| 数形结合 | 顶点公式法 | — |
| 函数思想 | 列表观察对称性 | — |
| 归纳思想 | 列表观察对称性 | — |
生活应用
这类「条件最值」不是考试专属，生活中到处可见：
- sheng-chan-you-hua
- gou-wu-zhe-kou
变式训练
- 若改为：售价 60 元时每天卖 300 件，每降价 1 元多卖 20 件，进价仍 40 元。降价多少元时利润最大？最大多少？ （提示：，展开配方，顶点 ，最大利润 6125 元。）
- 若超市要求售价不得超过 62 元，利润最大是多少？ （提示：顶点 对应售价 65 元，超出限制；开口向下时离对称轴越远利润越小，取范围内最接近的 ， 元。）
为什么值得学三种解法
利润问题是「反向变化相乘取最值」的代表：单件利润想涨、销量要跌，总利润在拉扯中出现峰值。配方法给出普适流程（建模—展开—配方—下结论），顶点公式是它的速记，列表对称性是不推导的验算。中考里无论涨价、降价还是限定区间，骨架都一样；变的只是关系式里那两个一次因式。掌握本题，等于拿到这类决策题的万能钥匙。
正例与反例
✅ 正例
- 售价 65 元时单件利润 25 元、销量 250 件， 元，正是顶点处的最大利润。
❌ 反例
- 「售价越高利润越大」错：涨价使销量下降，利润先增后减，越过 65 元后继续涨价利润反而减少。
高频误解与考试易错
- 利润不是销售额：单件利润是售价减进价，用售价直接乘销量会整体偏高
- 涨价与降价方向搞反：若 表示降价，销量应增加而不是减少，关系式随之改变
- 最值点要核对取值范围：若题目限定售价上限，顶点超出范围时应取区间端点
常见问题
为什么利润是二次函数？
单件利润随 一次变化（20+x），销量也随 一次变化（300−10x），两个一次式相乘就是二次式。涨价提单利、掉销量，一对反向变化的量相乘，最值必然出在对称轴附近。
顶点公式是怎么来的？
配方：。平方项非负，前面带负号，所以 时整式最大。顶点公式 只是配方的速记。
如果限定售价范围怎么办？
先求顶点，再看顶点是否在允许范围内：在范围内取顶点；不在范围内，抛物线开口向下时，离对称轴越远利润越小，取范围内最靠近对称轴的端点。
中考常见变体有哪些？
降价促销（销量随降价增加）、限定售价区间取端点、再问「利润为某值时售价多少」（转成解方程），结构都一样：先建模，再配方。
依据与出处
- 人教版（2024 审定）九年级上册 第二十六章《二次函数》