这一章在教材中的位置？

北师大版（2024 审定）九年级上册第二章，含 1 认识一元二次方程、2 一元二次方程的解法、3 一元二次方程的根与系数的关系、4 一元二次方程的应用。

四种解法怎么选？

能直接开平方或因式分解的优先；否则用公式法；配方法在推导公式、求顶点式和证明根与系数关系时不可替代。

判别式有什么用？

Δ=b²-4ac 的符号直接决定实数根的个数：Δ>0 时两个不等实根，Δ=0 时两个相等实根，Δ<0 时无实数根。

学完本章接哪一章？

第三章《概率的进一步认识》。本章的配方与代数变形技能，会在第四章相似、黄金分割与第六章函数中反复使用。

北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》教材同步学习指南

Q: 学完本章接哪一章？

第三章《概率的进一步认识》。本章的配方与代数变形技能，会在第四章相似、黄金分割与第六章函数中反复使用。

按北师大版（2024 审定）九上第二章编排，梳理一元二次方程的一般形式、配方法、公式法、因式分解法、根与系数的关系及实际应用。

定义

本章的学习主线：认识方程 → 降次求解 → 判别式与根与系数的关系 → 实际应用。

只含一个未知数、化简后未知数的最高次数为 $2$ 的整式方程叫一元二次方程，一般形式为 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0) .$ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别叫二次项系数、一次项系数和常数项。使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 认识一元二次方程	辨认方程、化成一般形式	$a x^{2} + b x + c = 0$ ， $a \neq = 0$
2 一元二次方程的解法	配方法、公式法、因式分解法降次	求出方程的根
3 根与系数的关系	不解根求两根之和与积	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
4 一元二次方程的应用	建模、求解、检验取舍	解决增长率、面积、利润等问题

1 认识一元二次方程

判断一元二次方程抓两个要点：化简后只含一个未知数，未知数的最高次数恰为 $2$ ；二次项系数 $a \neq = 0$ 。

把方程化成一般形式后，就能读出 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。例如 $(x - 1) (x + 2) = 3$ 展开得 $x^{2} + x - 2 = 3$ ，移项得 $x^{2} + x - 5 = 0,$ 所以 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = - 5$ 。

一元二次方程的解也叫根。判断一个数是不是根，把它代入方程看左右两边是否相等即可。

2 一元二次方程的解法

四种解法都是围绕“降次”展开。

直接开平方法：形如 $(x - m)^{2} = n$ 且 $n \geq 0$ 时， $x - m = \pm n,$ 所以 $x = m \pm n$ 。

配方法：把一般式配成完全平方。以 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 为例，移项得 $x^{2} - 4 x = 1$ ，两边加 $4$ ： $(x - 2)^{2} = 5,$ 所以 $x = 2 \pm 5$ 。二次项系数不为 $1$ 时，先两边同除以二次项系数。

公式法：对 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ），当判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时， $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} .$ $Δ > 0$ 时有两个不等实根， $Δ = 0$ 时有两个相等实根， $Δ < 0$ 时没有实数根。

因式分解法：把方程化成两个一次因式的积等于 $0$ 。例如 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 分解为 $(x - 2) (x - 3) = 0,$ 所以 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ 。

选法顺序：先看能否直接开平方或因式分解，不能再用公式法；配方法在推导公式、求二次函数顶点式时不可替代。

3 一元二次方程的根与系数的关系

设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$ 使用前要确认方程有实数根，即 $Δ \geq 0$ 。

以 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 为例， $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}, x_{1} x_{2} = - \frac{5}{2} .$ 不求根也可以求对称式，例如 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \frac{9}{4} + 5 = \frac{29}{4} .$

4 一元二次方程的应用

实际应用的标准流程：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验并取舍 → 作答。

常见模型：

增长率或降低率： $a (1 + x)^{n} = b$ ，其中 $x$ 为平均增长率， $n$ 为次数；
面积与几何：先画图，用含未知数的式子表示边长，再列面积方程；
利润：利润等于单件利润乘销量，注意售价和销量的取值范围；
传播与计数：每轮传播后数量按固定倍数增加。

例：某商品原价 $100$ 元，连续两次降价后为 $81$ 元，设平均每次降价率为 $x$ ，则 $100 (1 - x)^{2} = 81.$ 解得 $(1 - x)^{2} = 0.81$ ，所以 $1 - x = 0.9$ 或 $1 - x = - 0.9$ 。降价率应小于 $1$ ，故 $x = 0.1$ ，即平均每次降价 $10%$ 。

例：矩形长比宽多 $2$ ，面积为 $15$ 。设宽为 $x$ ，则 $x (x + 2) = 15,$ 即 $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ ，因式分解得 $(x + 5) (x - 3) = 0$ 。边长不能为负，所以 $x = 3$ ，长为 $5$ 。

本章的三条主线结论

降次是核心动作：四种解法都是把二次方程转化为一次方程，配方法是公式法的来源
判别式决定根的情况： $Δ$ 的符号直接给出实数根的个数，不必先求根
建模之后必须检验：数学上的根不一定符合实际意义，负根、超出范围的根要舍去

自测

先自己完成，再看答案：

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 各是多少？—— $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = - 1$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根是多少？—— $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$
$2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的判别式是多少？根是什么？—— $Δ = 8$ ， $x = 1 \pm \frac{2}{2}$
$x^{2} + 2 x + 3 = 0$ 有实数根吗？——没有， $Δ = 4 - 12 = - 8 < 0$
$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根之和与两根之积各是多少？——和为 $\frac{3}{2}$ ，积为 $- \frac{5}{2}$
某商品原价 $100$ 元，连续两次降价后为 $81$ 元，平均每次降价率是多少？—— $10%$

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $3$ 、 $6$ 题出错，说明公式法或实际检验还需再练。

学完本章之后

本章把八上的实数、八下的因式分解接到第一个非线性方程上：

第四章《图形的相似》：黄金分割比的计算会用到一元二次方程
九年级下册第二章《二次函数》：抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根
高中一元二次不等式：解集端点由方程的两根确定，判别式仍是入口

把“先看能否开方或分解，否则用公式法，配方法留作推导”做成选法直觉，一元二次方程题就有了统一入口。

北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》教材同步学习指南

适用前提与边界条件

定义

学习顺序

1 认识一元二次方程

2 一元二次方程的解法

3 一元二次方程的根与系数的关系

4 一元二次方程的应用

本章的三条主线结论

自测

学完本章之后

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

其他版本中的对应章节

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定义

学习顺序

1 认识一元二次方程

2 一元二次方程的解法

3 一元二次方程的根与系数的关系

4 一元二次方程的应用

本章的三条主线结论

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学完本章之后

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✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

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