北师大版八年级下册第二章《不等式与不等式组》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：不等关系 → 不等式性质 → 一元一次不等式 → 不等式组。

方程研究“相等”，不等式研究“大小”。用不等号连接的式子叫做不等式。使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解组成它的解集。

不等式与方程最大的区别在于：方程的解通常是有限的几个数，不等式的解集通常是一个范围。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 不等式及其性质	认识不等号与解集	三条基本性质
2 一元一次不等式	解不等式并在数轴上表示	解法步骤与变号规则
3 与一次函数的联系	用图象理解不等式的解集	交点与上下方区域
4 一元一次不等式组	求多个解集的公共部分	解集口诀与实际应用

顺序不能颠倒：不掌握不等式性质，解不等式时就会在“变号”上出错；不会解单个不等式，就无法处理不等式组。

1 不等式及其性质

常见不等号：

• $>$ 大于，$<$ 小于
• $\ge$ 大于或等于（不小于），$\le$ 小于或等于（不大于）
• $\ne$ 不等于

不等式的基本性质：

1. 不等式两边加或减同一个数（或式子），不等号方向不变。若 $a>b$，则 $a\pm c>b\pm c$。
2. 不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变。若 $a>b$，$c>0$，则 $ac>bc$。
3. 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变。若 $a>b$，$c<0$，则 $ac<bc$。

第三条性质是本章最重要的易错点。例如由 $-2x>6$，两边同除以 $-2$，得 $x<-3$，不等号必须改变方向。

在数轴上表示解集：

• $x>a$：空心圈，向右画
• $x\ge a$：实心点，向右画
• $x<a$：空心圈，向左画
• $x\le a$：实心点，向左画

2 一元一次不等式

只含一个未知数，未知数的次数是 $1$，且两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：

1. 去分母（两边同乘最简公分母，注意每一项都要乘）
2. 去括号
3. 移项（变号）
4. 合并同类项
5. 系数化为 $1$（两边同除以未知数的系数，除数为负时变号）

例如解 $3(x-1)>2x+1$：

去括号得 $3x-3>2x+1$，移项得 $3x-2x>1+3$，所以 $x>4$。

再如解 $\frac{x-1}{2}\le \frac{2x+1}{3}$：

两边同乘 $6$，得 $3(x-1)\le 2(2x+1)$，去括号得 $3x-3\le 4x+2$，移项得 $-x\le 5$，两边同除以 $-1$，得 $x\ge -5$。

实际应用中常见关键词：

• “至少”“不低于”对应 $\ge$
• “至多”“不超过”对应 $\le$
• “超过”对应 $>$
• “不足”对应 $<$

3 一元一次不等式与一次函数

一次函数 $y=kx+b$ 的图象是一条直线。不等式 $kx+b>0$ 的解集，就是使函数值为正的自变量的取值范围，也就是图象在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 的范围。

• $kx+b=0$ 的解：直线与 $x$ 轴交点的横坐标
• $kx+b>0$ 的解集：直线在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 的范围
• $kx+b<0$ 的解集：直线在 $x$ 轴下方部分对应的 $x$ 的范围

比较两个一次函数 $y_1=k_{1}x+b_1$ 与 $y_2=k_{2}x+b_2$：

• 先求交点，令 $y_1=y_2$
• 交点左侧和右侧，两个函数值的大小关系相反
• 结合图象可以直接读出 $y_1>y_2$ 或 $y_1<y_2$ 的 $x$ 范围

这种“数形结合”的方法，比单纯解不等式更直观，也常用于方案比较问题。

4 一元一次不等式组

几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。使每个不等式都成立的未知数的取值范围，叫做不等式组的解集。

解不等式组的步骤：

1. 分别解每个不等式
2. 在数轴上表示每个解集
3. 取公共部分

解集口诀：

• 同大取大：$x>a$ 且 $x>b$，若 $a>b$，则 $x>a$
• 同小取小：$x<a$ 且 $x<b$，若 $a<b$，则 $x<b$
• 大小小大中间找：$x>a$ 且 $x<b$，若 $a<b$，则 $a<x<b$
• 大大小小无解：$x>a$ 且 $x<b$，若 $a>b$，则无解

不等式组的应用常涉及：

• 分配问题：若干人分物品，每人分几个多多少、少多少
• 方案设计：购买两种商品，总费用不超过预算，数量满足要求
• 整数解：先求解集，再从中挑出符合实际意义的整数

例如某商品单价 $8$ 元，小明带 $50$ 元，想买 $x$ 件，则 $8x\le 50$，所以 $x\le 6.25$，$x$ 取正整数，最多买 $6$ 件。

本章的三条主线结论

1. 不等式性质是根基：加减不变号，乘除正数不变号，乘除负数必须变号
2. 解法与方程类似但有关键差异：步骤相同，系数化为 $1$ 时要判断是否变号
3. 不等式组取公共部分：先分别求解，再借助数轴取交集，注意边界与整数限制

最容易被考的是含负数系数的不等式、不等式组解集和实际应用，最容易出错的是忘记变号与边界处理。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 由 $x+3>5$ 可以得到什么？——$x>2$
2. 由 $-2x>6$ 可以得到什么？——$x<-3$
3. 不等式 $2x-1\le 5$ 的解集是什么？——$x\le 3$
4. $x>1$ 与 $x<4$ 的公共部分是什么？——$1<x<4$
5. $x>3$ 与 $x<1$ 的公共部分是什么？——无解
6. 某商品每件 $15$ 元，带 $100$ 元最多买几件？——$15x\le 100$，$x\le 6.67$，最多买 $6$ 件

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $2$ 题出错，说明负数变号规则还没掌握。

学完本章之后

本章把“等”推广到“不等”，是代数建模的重要一步：

• 第三章《图形的平移与旋转》：从代数回到几何变换
• 八年级下册《分式与分式方程》：不等式与分式结合时要注意分母不为零
• 九年级上册《一元二次方程》：方程与不等式继续扩展
• 高中《集合》与《线性规划》：不等式组的解集就是集合的交集，线性规划在此基础上展开

把“去分母每一项都乘、除负数必变号、最后在数轴上取交集”练成习惯，不等式题就稳了。