一元二次方程根的判别式

Q: 为什么一个 $\Delta$ 的符号就能决定根的个数？

求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的被开方数正是 $\Delta$：$\Delta>0$ 时开方得两个不同的值，$\Delta=0$ 时两根重合，$\Delta<0$ 时在实数范围内不能开方。

Q: 「有实数根」和「有两个实数根」一样吗？

不完全一样。「有实数根」只需 $\Delta\geq 0$（含相等）；「有两个不相等的实数根」要求 $\Delta>0$。读题时注意措辞差别，再翻译成对应的条件。

Q: 已知根的情况怎么反求参数？

先确认二次项系数不为 0，再按题意把「根的情况」翻译成关于 $\Delta$ 的等式或不等式，解出参数范围即可。

Q: 判别式与韦达定理（根与系数的关系）是什么关系？

判别式管「有没有根、有几个」，根与系数的关系管「两根的和与积是多少」。只有方程确有实数根时，谈两根的和与积才有意义。

一元二次方程根的判别式

对 $ax^2+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ ）， $\Delta=b^2-4ac$ ： $\Delta>0$ 有两个不等实根， $\Delta=0$ 有两个相等实根， $\Delta<0$ 无实根。

前置知识

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一元二次方程

适用前提与边界条件

方程已化为一般形式 $ax^2+bx+c=0$ ，且 $a\neq 0$

定义

对一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ），把 $b^{2} - 4 a c$ 叫做根的判别式，记作

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ$ 的符号	根的情况
$Δ > 0$	有两个不相等的实数根
$Δ = 0$	有两个相等的实数根
$Δ < 0$	没有实数根

推导

对 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）配方：二次项系数化为 1，并配上一次项系数一半的平方，得

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$

因为 $a \neq = 0$ ，左边 $(x + \frac{b}{2 a})^{2} \geq 0$ 恒成立，方程有没有实数解，完全取决于右端 $\frac{Δ}{4 a ^{2}}$ 的符号：

$Δ > 0$ ：右端为正，开方得 $x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{Δ}{2 a}$ ，两个值不相等；
$Δ = 0$ ：右端为 0， $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ；
$Δ < 0$ ：右端为负，而任何实数的平方都非负，等式无解，方程没有实数根。

故 $Δ$ 的符号完全决定根的情况。 $■$

典例精析

例 1：不解方程，判断 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的根的情况。

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 + 16 = 25 > 0$

所以方程有两个不相等的实数根。（实为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2}$ 。）

例 2： $k$ 取何值时，关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有实数根？

方程已是一般形式，且 $a = 1 \neq = 0$ 。「有实数根」即 $Δ \geq 0$ ：

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times k = 4 - 4 k \geq 0 ⟹ k \leq 1$

所以当 $k \leq 1$ 时，方程有实数根。

对比

措辞	对应条件
有两个不相等的实数根	$Δ > 0$
有两个相等的实数根	$Δ = 0$
有实数根（可能相等）	$Δ \geq 0$
没有实数根	$Δ < 0$

正例与反例

✅ 正例

$2x^2-3x-2=0$ ： $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times(-2)=9+16=25>0$ ，有两个不等实根 $x_1=2$ ， $x_2=-\frac{1}{2}$ 。
$x^2-4x+4=0$ ： $\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 4=0$ ，有两个相等实根 $x_1=x_2=2$ 。

❌ 反例

「 $x^2-2x+3=0$ 有实根」错： $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 3=-8<0$ ，该方程没有实数根。

高频误解与考试易错

必须先整理成一般形式再读系数：如 $x^2=3x-2$ 应化为 $x^2-3x+2=0$ 后取 $b=-3$ 、 $c=2$ ，照原式直接取系数必错
二次项系数含字母时，先讨论它是否为 0：若 $a=0$ 方程退化为一次方程，不能再用判别式
判别式只判定「根的个数」，不给出根的值；求两根的和与积要用根与系数的关系，两者分工不同

常见问题

为什么一个

\Delta

的符号就能决定根的个数？

求根公式

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

的被开方数正是

\Delta

：

\Delta>0

时开方得两个不同的值，

\Delta=0

时两根重合，

\Delta<0

时在实数范围内不能开方。

「有实数根」和「有两个实数根」一样吗？

不完全一样。「有实数根」只需

\Delta\geq 0

（含相等）；「有两个不相等的实数根」要求

\Delta>0

。读题时注意措辞差别，再翻译成对应的条件。

已知根的情况怎么反求参数？

先确认二次项系数不为 0，再按题意把「根的情况」翻译成关于

\Delta

的等式或不等式，解出参数范围即可。

判别式与韦达定理（根与系数的关系）是什么关系？

判别式管「有没有根、有几个」，根与系数的关系管「两根的和与积是多少」。只有方程确有实数根时，谈两根的和与积才有意义。

依据与出处

人教版（2024 审定）九年级上册第二十五章《一元二次方程》

一元二次方程根的判别式

前置知识

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适用前提与边界条件

定义

推导

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对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

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