苏科版七年级下册第8章《整式乘法》教材同步学习指南

定义

本章把整式运算从加减推进到乘法。主线是：单项式乘单项式 → 单项式乘多项式 → 多项式乘多项式 → 乘法公式。

整式乘法的基础是分配律和幂的运算。掌握法则后，再用平方差公式和完全平方公式提高计算效率。

学习顺序

小节	核心任务	关键法则
8.1 单项式乘单项式	系数相乘，同底数幂指数相加	$2x^2\cdot 3xy=6x^{3}y$
8.2 单项式乘多项式	用单项式乘每一项	$a(b+c)=ab+ac$
8.3 多项式乘多项式	逐项相乘再相加	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
8.4 乘法公式	识别结构，套用公式	平方差、完全平方

8.1 单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

$2x^2\cdot 3xy=(2\times 3)(x^2\cdot x)y=6x^{3}y.$

$(-4a^{2}b)\cdot (-3a{b}^2)=12a^3{b}^3.$

8.2 单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：

$m(a+b+c)=ma+mb+mc.$

例：

$-2x(3x^2-4x+1)=-6x^3+8x^2-2x.$

注意负号要乘到每一项。

8.3 多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加：

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

例：

$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6.$

计算时按顺序写全四项，再合并同类项，可以避免漏项。

8.4 乘法公式

平方差公式：

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

结构特征：两个二项式相乘，一项相同，另一项互为相反数。

例：$(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$。

完全平方公式：

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$

结构特征：一个二项式的平方。结果有三项，中间项是两数乘积的 2 倍。

例：

$(3a-2b{)}^2=9a^2-12ab+4b^2.$

本章的三条主线结论

1. 整式乘法本质是分配律：逐项相乘，不重不漏
2. 单项式乘单项式先算系数，再算同底数幂
3. 乘法公式是特殊结构的快捷方式：先认结构，再套公式

自测

先自己完成，再看答案：

1. $3x^2\cdot 4x^3$ 等于多少？——$12x^5$
2. $-2a(3a-5)$ 等于多少？——$-6a^2+10a$
3. $(x+4)(x-2)$ 等于多少？——$x^2+2x-8$
4. $(2x+5)(2x-5)$ 等于多少？——$4x^2-25$
5. $(a-3{)}^2$ 等于多少？——$a^2-6a+9$
6. 计算 $(x+1)(x-1)-(x-2{)}^2$。——$x^2-1-(x^2-4x+4)=4x-5$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4、5 题出错，说明两个乘法公式的结构还没有分清。

学完本章之后

本章是整式变形的重要工具：

• 八年级《因式分解》：乘法公式反过来用就是因式分解；
• 八年级《分式》：约分、通分需要先分解因式；
• 九年级《一元二次方程》：因式分解法解方程依赖本章公式。

把“逐项相乘不漏项、先认结构再套公式”练熟，整式乘法就能又快又稳。