苏科版七年级下册第7章《幂的运算》教材同步学习指南

定义

本章把幂的运算从“算出一个数”推进到“用字母表示指数规律”。主线是：同底数幂相乘 → 幂的乘方 → 积的乘方 → 同底数幂相除 → 零指数与负整数指数。

核心公式（其中 $m$、$n$ 为正整数，除法中底数不为 0）：

$a^m\cdot a^n=a^{m+n},$

$(a^m{)}^n=a^{mn},$

$(ab{)}^n=a^n{b}^n,$

$a^m÷a^n=a^{m-n}.$

学习顺序

小节	核心任务	关键公式
7.1 同底数幂的乘法	底数不变，指数相加	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
7.2 幂的乘方与积的乘方	指数相乘；各因式分别乘方	$(a^m{)}^n=a^{mn}$，$(ab{)}^n=a^n{b}^n$
7.3 同底数幂的除法	底数不变，指数相减	$a^m÷a^n=a^{m-n}$

7.1 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$

例如

$10^3\times 10^5=10^{3+5}=10^8,$

$x^2\cdot x^4=x^{2+4}=x^6.$

注意：只有底数相同才能直接使用这条法则。$a^2\cdot b^3$ 的底数不同，不能合并。

7.2 幂的乘方与积的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘：

$(a^m{)}^n=a^{mn}.$

例如 $(x^3{)}^4=x^{12}$，$(10^2{)}^5=10^{10}$。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：

$(ab{)}^n=a^n{b}^n.$

例如

$(2x{)}^3=2^3{x}^3=8x^3,$

$(-3a^{2}b{)}^2=(-3{)}^2(a^2{)}^2{b}^2=9a^4{b}^2.$

7.3 同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m÷a^n=a^{m-n}(a\ne 0,m>n).$

例如

$10^7÷10^4=10^{7-4}=10^3,$

$x^6÷x^2=x^{6-2}=x^4.$

当 $m=n$ 时，

$a^m÷a^m=a^0=1(a\ne 0).$

当 $m<n$ 时，指数结果为负，规定

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a\ne 0,n\text{ 为正整数}).$

例如 $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。

本章的三条主线结论

1. 乘法看指数相加，除法看指数相减：前提是底数相同
2. 幂的乘方指数相乘，积的乘方各因式分别乘方：两种“乘方”不要混
3. 零指数和负整数指数都要求底数不为 0：这是公式成立的条件

自测

先自己完成，再看答案：

1. $a^4\cdot a^3$ 等于多少？——$a^7$
2. $(x^2{)}^5$ 等于多少？——$x^{10}$
3. $(3ab{)}^2$ 等于多少？——$9a^2{b}^2$
4. $y^8÷y^3$ 等于多少？——$y^5$
5. 计算 $(-2{)}^0+2^{-2}$。——$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
6. 计算 $(2a^2{)}^3\cdot a$。——$8a^7$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、3 题出错，说明两种乘方法则还没有分清。

学完本章之后

本章是整式乘除的基础：

• 第8章《整式乘法》：单项式乘单项式会直接用到同底数幂相乘；
• 八年级《因式分解》：幂的运算法则用于公式法分解；
• 八年级《二次根式》：根式化简会用到幂的性质。

把四条公式的条件和区别记清，整式运算就不会在指数上反复出错。