人教版九年级下册第三十一章《相似》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：一般相似图形 → 相似三角形（判定与性质）→ 实际测量 → 位似（带位置的相似）。

全等要求形状与大小都相同，相似只保留「形状相同」：对应角相等、对应边成比例。相似比 $k=1$ 时相似退化为全等，所以全等的判定经验可以整体迁移，只需把「边相等」放宽为「边成比例」。本章是初中比例线段的集大成章。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
31.1 图形的相似	相似多边形	对应角相等、对应边成比例；相似比
31.2 相似三角形	判定定理	平行判定、三边成比例、两边成比例夹角等、两角相等
31.2 相似三角形的性质	对应量之比	对应线段比 $k$、周长比 $k$、面积比 $k^2$
31.3 相似三角形的应用	测高、测距	平行构造相似，列比例求解
31.4 位似	特殊位置的相似	位似中心、位似比；坐标放缩规律

顺序不能颠倒：31.2 的判定是全章枢纽，31.3 的测量模型本质上只是在真实图形中「认出」一个相似三角形，31.4 的位似则给相似加上「对应点连线共点」的位置条件。

31.1 图形的相似

形状相同的图形叫相似图形。相似多边形的对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫相似比。相似比有方向性：说「甲与乙的相似比」和「乙与甲的相似比」互为倒数，读题先定方向。

31.2 相似三角形

判定有四条入口：平行于三角形一边的直线截出的三角形与原三角形相似；三边对应成比例（SSS 型）；两边对应成比例且夹角相等（SAS 型）；两角分别相等（AA 型，最常用）。注意「两边成比例 + 非夹角相等」不能判定。

性质按「线性量 / 二次量」分层：对应高、中线、角平分线与周长的比都等于相似比 $k$，面积比等于 $k^2$。

31.3 相似三角形的应用

测旗杆高度、河宽、树高等问题的统一套路：找平行线（光线竖直、地面水平）→ 判定相似 → 列对应边比例 → 代入可测长度。同一时刻物高与影长成比例是最常用的模型；有镜面反射时反射角相等提供另一组等角。

31.4 位似

两个相似图形的对应点连线交于同一点（位似中心）时叫位似。位似比等于相似比，图形可在位似中心同侧或异侧。在坐标系中，以原点为位似中心、位似比为 $k$ 时，点 $(x,y)$ 对应 $(kx,ky)$（异侧时为 $(-kx,-ky)$），是放缩作图与坐标计算的直接规则。

本章的三条主线结论

1. 全等是 $k=1$ 的相似：判定路线整体迁移，「边相等」放宽为「边成比例」，角条件不放宽
2. 线性量比 $k$，面积比 $k^2$：一切对应线段（含高、中线、周长）比 $k$，只有面积要平方
3. 应用题靠平行找相似：测高测距的本质是平行条件下辨认 AA 型相似，再列一个比例式

第 1 条最容易误用 SSA，第 2 条在填空与综合题中高频失分；测量题要特别核对基线长度。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 两个相似三角形相似比为 $3:2$，对应高的比是多少？——$3:2$
2. 相似比为 $3:2$，面积比是多少？——$9:4$
3. 判定两三角形相似最常用的条件是什么？——两角分别相等（AA）
4. $△ABC\sim △DEF$，$AB=4$，$DE=6$，相似比（甲比乙）？——$\frac{2}{3}$
5. 同一时刻 1.8 米的人影长 1.2 米，一棵树影长 8 米，树高？——$h=\frac{1.8}{1.2}\times 8=12$ 米
6. 以原点为位似中心把 $(2,-4)$ 放大 3 倍（同侧），对应点？——$(6,-12)$

答对 5 题以上概念过关；第 2、4、6 题出错说明「比例方向」与「面积平方」还需重过。

学完本章之后

本章把「比例—相似」锻造成几何计算的通用工具：

• 第三十二章《锐角三角函数》：直角三角形内的相似给出固定的边角比，三角函数就是「定型」的相似比
• 圆与相似综合：A 字型、8 字型、射影定理等模型全部以相似判定为核心
• 中考几何压轴：动点问题中的面积函数、线段比值范围，几乎都以相似为列式基础

把「见平行想相似、见乘积化比例、见比例找对应」练成习惯，相似就从新定理变成了旧工具。