苏科版七年级下册第11章《一元一次不等式》教材同步学习指南

定义

本章把“相等关系”扩展为“不等关系”。主线是：认识不等式 → 掌握不等式性质 → 解一元一次不等式 → 解不等式组 → 解决实际问题。

用不等号（$<$、$>$、$\le$、$\ge$、$\ne$）连接的式子叫不等式。只含一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式，叫一元一次不等式。

使不等式成立的未知数的值的全体叫不等式的解集，求解集的过程叫解不等式。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
11.1 不等式	用不等号表示大小关系	会列简单不等式
11.2 一元一次不等式的概念	辨认一元一次不等式	未知数次数为 1
11.3 解一元一次不等式	去分母、去括号、移项、合并、系数化 1	正确表示解集
11.4 一元一次不等式组	求多个解集的公共部分	数轴取交集
11.5 用一元一次不等式解决问题	建模、求解、取整	符合实际意义

11.1 不等式

常见不等号及其含义：

符号	含义
$<$	小于
$>$	大于
$\le$	小于或等于
$\ge$	大于或等于
$\ne$	不等于

不等式的基本性质：

1. 不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；
2. 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；
3. 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变。

11.2 一元一次不等式的概念

一元一次不等式的一般形式可以写成

$ax+b>0\text{或}ax+b<0(a\ne 0).$

例如 $2x-3>5$、$\frac{x+1}{2}\le 4$ 都是一元一次不等式；$x^2>1$ 不是，因为未知数的次数是 2。

11.3 解一元一次不等式

解一元一次不等式的步骤与解方程类似：

1. 去分母；
2. 去括号；
3. 移项；
4. 合并同类项；
5. 系数化为 1。

最后一步要特别注意：两边同除以负数时，不等号方向改变。

例：解

$-2(x-3)\ge 4.$

去括号：

$-2x+6\ge 4.$

移项：

$-2x\ge -2.$

两边同除以 $-2$，不等号变向：

$x\le 1.$

在数轴上表示时，$x\le 1$ 用实心点表示 1，并向左画箭头。

11.4 一元一次不等式组

几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分。

例：解不等式组

$\{\begin{array}{l}2x-1>3,\\ x+2\le 6.\end{array}$

第一个不等式解得 $x>2$，第二个解得 $x\le 4$。两个解集的公共部分是

$2<x\le 4.$

在数轴上，先分别画出两个解集，再取重叠部分。

11.5 用一元一次不等式解决问题

列不等式解应用题的一般步骤：

1. 审题，找出不等关系；
2. 设未知数；
3. 列不等式或不等式组；
4. 解不等式；
5. 根据实际意义取解。

例：某班用 300 元购买单价 8 元的笔记本，最多能买多少本？

设买 $x$ 本，则

$8x\le 300,$

解得 $x\le 37.5$。笔记本本数必须是整数，所以最多买 37 本。

本章的三条主线结论

1. 乘除负数是分水岭：只有乘或除以负数时，不等号才变向
2. 不等式组取交集：每个不等式都要同时成立
3. 实际问题要取整：解集给出范围，实际答案还要符合离散量的要求

自测

先自己完成，再看答案：

1. 用不等式表示“$x$ 的 2 倍大于 6”。——$2x>6$
2. 解不等式 $3x-5<7$。——$x<4$
3. 解不等式 $$\begin{gathered} -4x \\ ge8 \end{gathered}$$。——$$\begin{gathered} x \\ le-2 \end{gathered}$$
4. 解不等式组 $x>2$ 且 $$\begin{gathered} x \\ le5 \end{gathered}$$。——$$\begin{gathered} 2<x \\ le5 \end{gathered}$$
5. 某数的 3 倍减去 2 不小于 10，求这个数的范围。——$$\begin{gathered} 3x-2 \\ ge10 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} x \\ ge4 \end{gathered}$$
6. 用 100 元买单价 7 元的笔记本，最多买几本？——$$\begin{gathered} 7x \\ le100 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} x \\ le14.28 \end{gathered}$$，最多 14 本

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3 题出错，重点检查除以负数是否变向。

学完本章之后

本章与方程并列，是建模的重要工具：

• 八年级《一次函数》：不等式 $kx+b>0$ 的解集对应函数图象在 $x$ 轴上方的部分；
• 八年级《分式》：分式有意义的条件常转化为不等式；
• 九年级《一元二次方程》：进一步学习二次不等式时会用到区间思想。

把“变号条件、交集、取整”三件事记牢，不等式题就不会在细节上失分。