浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》教材同步学习指南

定义

有一个角是直角的平行四边形叫矩形；一组邻边相等的平行四边形叫菱形；一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

三者的共同起点都是平行四边形，区别只在追加的条件：矩形追加「直角」，菱形追加「邻边相等」，正方形把两个条件都加上。因此性质是逐级增加，判定则要逐级补足条件。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 矩形	掌握矩形的性质与判定	四个直角、对角线相等；斜边中线等于斜边一半
5.2 菱形	掌握菱形的性质与判定	四边相等、对角线垂直；面积 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$
5.3 正方形	把矩形与菱形的性质合起来	四边相等、四角直角、对角线相等且垂直

5.1 矩形

矩形是有一个角是直角的平行四边形，所以它首先具备平行四边形的一切性质，另外还有：

• 四个角都是直角；
• 对角线相等且互相平分。

由「矩形对角线相等且互相平分」可以推出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定矩形常用三种方法：

1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 对角线相等的平行四边形是矩形；
3. 有三个角是直角的四边形是矩形。

例：矩形 $ABCD$ 中 $AB=6$，$BC=8$，则 $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10.$ 设 $AC$ 的中点为 $O$，连接 $BO$，则斜边 $AC$ 上的中线 $BO=\frac{1}{2}AC=5.$

提醒：用「对角线相等」判定矩形时，前提必须是平行四边形；对一般四边形，对角线相等不能保证是矩形。

5.2 菱形

菱形是有一组邻边相等的平行四边形，它的特殊性质有：

• 四条边都相等；
• 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形面积有两种算法： $S=ah\text{或}S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2,$ 其中 $a$ 是边长，$h$ 是对应的高，$d_1$、$d_2$ 是两条对角线的长。

判定菱形常用三种方法：

1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3. 四条边相等的四边形是菱形。

例：菱形两条对角线长分别为 $6$ 和 $8$，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为 $3$ 和 $4$，所以边长为 $\sqrt{3^2+4^2}=5,$ 周长为 $20$，面积为 $\frac{1}{2}\times 6\times 8=24.$

提醒：菱形的对角线互相垂直，但不一定相等；对角线相等是矩形的特征。用对角线求面积时不要漏掉 $\frac{1}{2}$。

5.3 正方形

正方形既是矩形又是菱形，因此同时具备两者的性质：

• 四条边都相等，四个角都是直角；
• 对角线相等、互相垂直、互相平分，并且每条对角线平分一组对角。

正方形的面积可以写成 $S=a^2\text{或}S=\frac{1}{2}{d}^2,$ 其中 $a$ 是边长，$d$ 是对角线长。

判定正方形常用两条路径：

1. 先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；
2. 先证四边形是菱形，再证有一个角是直角。

例：正方形边长为 4，则对角线 $d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},$ 面积为 $16$。反过来，若正方形对角线长为 $6$，则面积为 $\frac{1}{2}\times 6^2=18.$

提醒：判定正方形要先有平行四边形（或矩形、菱形）作基础，再补「邻边相等」与「直角」；对一般四边形，仅「对角线相等且垂直」不够，还必须说明对角线互相平分。

本章的三条主线结论

1. 逐级加条件：矩形＝平行四边形＋直角，菱形＝平行四边形＋邻边相等，正方形＝矩形＋邻边相等＝菱形＋直角
2. 对角线是分水岭：平分得平行四边形，再加相等得矩形，再加垂直得菱形，相等与垂直兼备得正方形
3. 判定与性质方向相反：证「是什么图形」用判定，由「已知图形」推结论用性质，不要混用

自测

先自己完成，再看答案：

1. 矩形对角线长为 10，一边长为 6，另一边长是多少？——$8$
2. 菱形两条对角线长分别为 10 和 24，边长和面积分别是多少？——边长 $13$，面积 $120$
3. 正方形边长为 5，对角线和面积分别是多少？——对角线 $5\sqrt{2}$，面积 $25$
4. 矩形对角线交点到四个顶点的距离有什么关系？——相等，都等于对角线的一半
5. 矩形再满足什么条件就成为正方形？——一组邻边相等
6. 菱形两条对角线长分别为 8 和 6，面积是多少？——$24$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、5 题出错，说明对角线分水岭与正方形判定还需再练。

学完本章之后

• 九年级《相似三角形》与《圆》：矩形的直角、菱形的对角线垂直是相似与圆中计算的基础
• 高中立体几何：长方体、正方体的面与对角线关系，是本章平面结论的推广
• 中考综合题：特殊平行四边形的判定链、对角线条件与面积计算是固定考法

把「先判平行四边形、再加特殊条件」写成证明的第一行，特殊平行四边形的判定就不会跳步。