行程与工程问题：用一元一次方程解决相遇追及

相遇与追及、合作做工，本质都是「路程 = 速度 × 时间」或「工作量 = 效率 × 时间」。设未知数、找等量关系列一元一次方程，一步解出。

生活场景：两车相向而行多久相遇、快者多久追上慢者、两队合作几天完工：这些日常问题都能翻译成一元一次方程快速求解。

数学关联：「路程 = 速度 × 时间」「工作量 = 效率 × 时间」是两条基本等量关系；设未知数、找等量、列方程是代数解决问题的一般路径。

适用前提与边界条件

已掌握一元一次方程的解法
路程、速度、时间三者关系 s = vt；工作量、效率、时间同理

两类基本模型

行程：路程 = 速度 × 时间

类型	方向	关键量	等量关系
相遇	相向	速度和	路程和 = 全程
追及	同向	速度差	路程差 = 初始距离

甲乙相距 300 km 相向而行，甲 60、乙 40 km/h。设 $x$ 小时相遇：

$60 x + 40 x = 300 \Rightarrow x = 3$

工程：工作量 = 效率 × 时间

把总工作量看作 1，甲 6 天完成则效率 $\frac{1}{6}$ ，乙 3 天完成则效率 $\frac{1}{3}$ 。合作 $x$ 天：

$(\frac{1}{6} + \frac{1}{3}) x = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} x = 1 \Rightarrow x = 2$

解题三步

设：设所求量为 $x$ （常是时间或速度）
表：用 $x$ 表示各自的路程或工作量
列：按「和 = 全程」或「效率和 × 时间 = 1」列方程

为什么先学这个

行程与工程是把「文字翻译成方程」的第一课。掌握了「找等量关系」这一步，后面的浓度、利润、配套问题都只是换了背景——列方程的思路一模一样。

正例与反例

✅ 正例

甲乙相距 300 km 相向而行，甲 60 km/h、乙 40 km/h：300÷(60+40)=3 小时后相遇
甲独做 6 天、乙独做 3 天完成同一工程：合作需 1÷(1/6+1/3)=2 天

❌ 反例

追及用速度和：甲追乙同向而行，相对速度是 60−40=20，不是 100

高频误解与考试易错

单位不统一：速度 km/h 与时间 min 混用，先化成同单位
相向而行用减法：相遇是速度和，追及才是速度差，方向搞反全盘错
工程问题设错单位「1」：把总工作量设为 1，个人效率是 1/天数

常见问题

行程问题列方程的通法？

设时间为 x（或所求量），用「路程 = 速度 × 时间」表示各自路程，再按相遇（路程和=全程）或追及（路程差=初始距离）列等式。

工程问题为什么把总量设成 1？

因为只问合作时间不问具体工作量。设总量为 1，甲效率 1/6、乙效率 1/3，加起来就是合作效率，列式最简。

相遇和追及的核心区别？

相遇是「相向而行，距离越缩越短」，用速度和；追及是「同向而行，快者撵慢者」，用速度差。

依据与出处

人教版（2024 审定）七年级上册第五章《一元一次方程》：实际问题与一元一次方程